농도가 기준이 뭔 지 모르겠습니다만, 만일 질량 비율 이라면 저렇게 하면 안됩니다. 왜냐면 2% 라고 하면, A+B 가 100 인데 그 중 2 가 B 라는 것입니다. 그러면 A는 98만 들어가면 되지요. 지금 계산하신 것은 A 100에 B를 2를 넣은 셈이니, 목표보다 조금 낮은 %가 나오게 됩니다. 농도가 높지 않다는 전에 하에, 거의 차이가 없긴 합니다만, 정밀하게는 틀렸지요.
"간단한 계산" 부분은 완전히 틀릴 수 있습니다. 용매의 농도에 따라서 오차가 매우 커질 수 있기 때문입니다.
전체 용량이 정해져있고, 용질(B)이 용해된 후 부피에 차이가 없다고 할 때, 1) 전체 용량 만큼의 용매(A)를 준비한다. 2) 용매의 질량을 계산한다 (0.792*1000ml = 792g) 3) 얼마만큼의 용질(B)이 필요한 지 계산한다. x/(792+x) = 0.05 => x = 792*0.05/(1-0.05) = 41.684...
최적화 맞습니다. 보통은 최소/최대값을 어디에서 가지는가 찾을 때 쓰는 말입니다. 편미분과 관련해서는, 그라디언트가 0이 되는 지점이 되겠군요.
시스템에서 우리가 건드릴 수 있는 인풋을 u, 건드리지 못하는 변수들을 x 라고 하고, loss, cost 혹은 penalty 등의 이름으로 불리는 목표함수를 l(x,u) 라고 하면 u* = argmin l(x,u) 꼴의 문제를 optimization problem 이라고 합니다.
"변수분리" 라는, 미분방정식을 풀 때 대표적인 방법으로 풀어낼 수 있고, 또 다른 방법으로는 글쓴이께서 적으신 결론이 걍 때려맞춘 것이라고 해도, 최소한 정답 중 하나다 라고는 결론지을 수 있겠구요, 사실 "그것이 바로 유일한 해답이다" 를 보이는 방법이 있습니다.
변수 분리를 사용하는 방법은 f(x) 를 df/dx 로 표시하기로 하면, df/dx = kf/x => 1/f * df = k/x * dx 양 변을 적절한 구간 (x_0 ~ x)에 대하여 적분해주면 log f(x) - log f(x_0) = k*(log x - log x_0) =>log f(x) = k*log x + (log f(x_0) - k*log x_0) 괄호 안의 것들은 상수이니 뭉뚱그려서 c = log C 라고 하면 log f(x) = k*log(x) + c f(x) = C*x^k 를 얻고, 한 점을 알고 있으므로 대입해서 C를 구해주면 f(x) = x^k 를 얻습니다.