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2017-07-18 12:52:39
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아랫글 왔습니다 ㅋㅋ
greedy 한 방법으로 계산하시면 됩니다. 일단 윤년을 무시하도록 하고, 개개인이 독립적으로 1/365 확률로 고른 생일의 확률분포를 가진다고 합니다.
n 명의 사람 이 서로 생일이 다른 사건을 A_n 이라고 합시다. 우리의 목표는 P(A_n) 을 계산하는 것입니다.
1. P(A_1) 은 1 입니다. 나 혼자서는 무조건 같겠죠.
2. 만일 A_n 이 일어났다고 칩시다. n 명의 사람이 모두 생일이 다른 거죠. 이 때 한 사람이 더 왔는데 이 사람도 또 생일이 다를 확률을 계산합니다.
이를 조건부 확률로 표현하면 P(A_(n+1) | A_n) 이 되는데, 이미 n 명의 사람에 의해 365 일 중 n 자리는 찼을 것이고, 나머지 중에 하루가 되어야 하니까 간단하게 (365-n)/365 임을 알 수 있습니다. 단, n이 365 이상이 되면 확률은 0 이상이어야 하므로 그냥 0이 되겠지요.
3. 조건부 확률의 공식 P(A) = P(A|B)P(B) 를 적용합니다. 이를 이용하면 P(A_n) 의 점화식을 구할 수 있습니다.
P(A_(n+1)) = P(A_(n+1) | A_n)P(A_n) = (1 - n/365) P(A_n)
4. 이를 풀어주면 n <= 365 일 때
P(A_n) = 365*364*...*(365-n+1) / 365^n = 365!/n!365^n 임을 알 수 있습니다. 이 값은 지수함수 보다도 매우 빠르게 감소하는 값으로, 생각보다 굉장히 빨리 감소합니다.