안정적인 조화 진동자의 운동방정식은 x'' + ω^2 x = 0 이며, 이때 진동의 중심인 x = 0, x' = 0 을 Fixed point 라고 합니다. 이유는 x=0, x'=0 이면 저 방정식이 싸그리 0이 되면서 멈추기 때문이지요. 또한, x = x' = 0 에서 톡 벗어나게 건드리면 다시 되돌아오려고 하기 때문에 Stable fixed point 라고 합니다.
뒤집혀진 pendulum 의 운동방정식을 선형근사하면 x'' - (g/l) x = 0 이 됩니다. x 앞에 붙은 상수가 "음수" 지요. 이때 x = x' = 0 은 여전히 Fixed point 이지만, unstable 합니다. 즉 딱 저 위치에선 가만히 있을 수 있지만 아주 조금이라도 건드리면 중심에서 멀어지게 되지요.
- 정리하자면, x'' + k x = 0 에서 k 가 양수면 stable, 음수면 unstable 이 됩니다.
이제 진자의 아래 피봇을 위아래로 진동시켜봅시다. y = A cos ωt 로요. 아래 첨부할 그림과 수식 전개를 살펴보시기 바랍니다.
최종적으로 우리는 x'' + (δ + 2ε cos 2τ)x = 0 이라는 식을 얻었습니다. 위의 x'' + kx = 0 와 비교해보면, k 가 상수였었는데 거기에 cos 식이 추가가 되었지요. 이런 형태로 나타나는 힘을 "Parametric excitation" 이라고 합니다. (매개변수 가진? 한국어로는 잘 모르겠습니다 죄송해요.)
우리가 흔히 보는 외력이 x'' + kx = A cos ωt 이렇게 우변에 들어가는 데 반해서 시스템 식 안에 들어가는 특징이 있지요.
식을 보시면 델타와 엡실론이 있는데, 그래프가 이 델타와 엡실론에 따라서 stability 가 어떻게 변하는 지 보여주는데요, (U가 unstable, S가 stable)
일단 엡실론이 0인 경우를 보시면, 0보다 작으면 U, 크면 S 위치에 있는, 우리가 알고있는 결과가 나오죠.
보면 델타가 딱 1이면 엡실론에 따라 금방 unstable 해지는 것도 확인하실 수 있구요. 그런데 중요한건 파랗게 점찍힌 부분입니다.
무려 델타가 음수이지만, 적절~한 엡실론과 조합되면 stable 해질 수 있다는 것이지요.
진자의 길이인 l, 중력상수 g가 주어졌을 때, y = A cos ωt 에서 A와 ω 를 잘 선택해서 저 파란 점 부분에 넣을 수 있다면, 우린 뒤집혀진 진자 = 음수 델타 상황에서도 x = x' = 0 을 stable 하게 만들 수 있습니다.
Parametric excitation의 stabilization 의 특징은, 능동적인 feedback 없이도 stability 를 얻을 수 있다는 장점이 있습니다. 하지만 반대로, stable 하던 시스템도 예상치 못한 진동 때문에 stability가 깨질 수도 있다는 점이지요. 로봇 등에는 항상 모터가 들어가고, 모터를 아무리 완벽하게 만들어도 진동이 생기며 그 진동은 parametric 한 형태로 들어갑니다. 그래서 이런 계산 기법이 발달한 것이지요.