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2015-10-20 01:38:07
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우선 공간을 최대한 활용하기 위해 줄을 최대한 나누지 않았으니, 보기 불편하시면 댓글을 복사하셔서 다른데다 붙여놓고 엔터쳐가면서
보시길 권합니다.
1번. 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재합니다. 이는 x가 2로갈때 분자를 0으로 만드는 항이 분자안에 있음을 의미합니다.
따라서 분자의 극한값인 2+b = 0임을 알 수있습니다. ( b = -2 )
분자와 분모에 공통항으로 x - 2가 포함되어있으므로 이는 소거가 가능하고, 따라서
lim (x->2) [{ f(x) - f(2) } / ( x-2 ) ] 의 극한값이 12임을 알 수있습니다. 이를 계산해보면 a값도 구할 수 있습니다.
또 다른 풀이로는, 주어진 식이 사실은 "f(x)의 x=2에서의 미분계수 f'(2)의 역수' 임을 인지하면 쉽게 풀 수 있습니다.
이를 'x=2에서의 f(x)의 미분계수 꼴'로 만들어내면 주어진 b를 알 수 있으며, 1/12라는 값이 f'(2)의 역수였으므려 f'(2) = 12라는 결론을 가지고,
a역시 구할 수 있습니다.
두번째 풀이가 이해가 안 되신다면 그건 '미분이 무엇인가?'에 대해 제대로 이해를 못 하고 계신거기때문에 다시 미분과 미분계수에 대해서 다시한번 읽어보시기를 권합니다.
3번. 고1 방식대로 풀자면, 그냥 일반 실수의 나눗셈처럼 나누시면 됩니다.
하지만 다른 간편한 풀이를 활용해보자면... 우선 역시나 고1 시절에 배운 수학적 내용을 하나 설명해야합니다.
어떤 다항함수 f(x)를 다항함수 g(x)로 나누었을 때의 몫을 P(x), 나머지를 Q(x)라고 하면, 다항함수 f(x)는 다음과 같이 표현 가능합니다.
f(x) = g(x)P(x) + Q(x)
맨 처음 "일반 실수의 나눗셈 처럼"하면 된다고 했기때문에 똑같습니다. 예를 들어서 12라는 숫자를 5로 나누면 몫은 2, 나머지는 2가 됩니다.
이를 위의 식처럼 표현해보자면
12 = 5*2 + 2
가 됩니다. 이렇듯 실수의 나눗셈과 다항함수의 나눗셈은 같습니다.
다시 돌아와서
주어진 3차식을 f(x)로 보고, 나누려는 수 (x-1)의 제곱을 g(x)라고 해봅시다. 그리고 위에서처럼 f(x)를 g(x)로 나눈 몫을 P(x), 나머지를 Q(x)라고 하면
f(x) = g(x)*P(x) + Q(x)
가 됩니다. 그런데 문제에서 주어지길 "(x-1)^2 으로 나누어 떨어진다."라고 했으므로 몫 Q(x)는 존재하지 않습니다. 따라서
f(x) = g(x) * P(x)
겠지요. 그런데 g(x)는 (x-1)의 제곱이기 때문에 x에 1을 대입하면 0이 됩니다. 즉, g(1) = 0 입니다.
따라서 f(1) = g(1)*P(1) = 0 * P(1) 이 됩니다. P(1)이 무슨 값을 갖던지에 상관없이 g(1) = 0 이므로 f(1) = 0 입니다.
여기서 a + b + 1 = 0 이라는 식을 얻게됩니다. (그냥 f(x)에 1대입한 결과가 0임을 이용).
이번에는 f(x)를 미분해봅시다.
f'(x) = g'(x)P(x) + g(x)P'(x)
입니다. g(x) = (x-1)^2 였으므로 g'(x) = 2(x-1) 입니다. 결국 g(1) = 0 이고, g'(1) = 0 입니다.
이번에도 f'(x)에 1을 대입해봅시다.
f'(1) = g'(1)P(1) + g(1)P'(1) = { 0 * P(1) } + { 0 * P'(1) } = 0 입니다. P(1)과 P'(1)의 값과는 무관하게 f'(1)이 0임을 알 수 있습니다.
따라서
f'(1) = 5 + a = 0 이고, a = -5를 얻을 수 있습니다.
위에서 a + b + 1 = 0 을 구했으므로 계산하면 b도 구해집니다.
4번. 주어진 두 조건은 f(1) = 6, f'(1) = 10, g(1) = 8, g'(1) = 12 임을 의미합니다.
이걸 가지고 y = f(x)g(x) 의 x = 1 에서의 미분계수를 구하라는 것이므로 그냥 미분해서 값 대입하면 됩니다.
다른 문제들을 푸신거보면 기본적으로 미분을 어떻게 하는지는 아시는 것 같은데, "미분계수'가 무엇인지에 대한 명확한 이해가 없으신것 같습니다.
만약 혼자공부하시기 불편하시다면, 시중에 나와있는 고등학교 수학 참고서중에 미분이 나와있는 책을 사서 공부해보시길 권합니다.
자연대 내지는 공대생이실텐데, 기본 미적분에 대한 개념이 부족하면 나중에 다른 공부하시는데 큰 지장이 생깁니다.
7번. 합성함수 미분법을 공부해보시길 권합니다.
(fㅇg)(x) 라는 것은 f( g(x) ) 를 의미합니다. 즉, 합성함수입니다.
이를 미분하는 방법은 f'(g(x)) * g'(x) 와 같이 미분하며, 주어진 값들을 대입하면 해결됩니다.
8번. 역함수의 미분법을 공부해보시길 권합니다.
dy/dx = 1 / ( dx/dy)
임을 이용해 계산합니다.
함수 f(x)에 대해서 f(8) = 10 입니다. 따라서 그 역함수 g(x)에 대해 g(10) = 8 입니다.
(역함수가 무엇인지 모르신다면 중고등학교 참고서를 필히 읽어보시길 권합니다.)
g'(10) = 1/f'(8) 입니다. f(x) 미분은 생략합니다.
11번. 음함수미분법을 공부해보시길 권합니다.
음함수 미분법 기본예제 수준의 문제기 때문에 음함수 미분법이 무엇인지, 어떻게 하는 건지 다시 읽어보시면 바로 푸실 수 있을겁니다.
문제 자체는 쉬운데 댓글로 표기하기가 너무 귀찮아서 생략합니다.
12번. 그냥 곱셈이 된 함수의 미분법입니다.
y' = e^(ax) + ax*e^(ax)
로 푸신뒤에 x에 1대입하시면 됩니다.
아마 올해 신입생이실듯 한데, 말이 대학수학이지 대학교1학년때 배우는 미적분과목은 사실 고등학교 이과생들 내용과 거의 유사합니다.
차이점이라면, 재미난 '입실론 델타 증명'을 통한 극한의 엄밀한 정의, 쌍곡선함수등, 그리고 삼각함수의 역함수의 미분법 등의 추가정도겠죠.
질문해주신 문제들은 고등학교 교재에 아주 친절하게 풀이까지 나와있기 때문에, 독학을 하는데 어려움이 따른다면
대학교재보다 시중에 출간된 고등학교 이과생 수학 개념서, 문제집을 보시는게 더 도움이 될 수 있습니다.