1074
2016-07-30 11:53:38
0
본문의, 부등호 양변에 도함수 취하기에 대한 잡썰 하나.
f(x) = e^(-x) 와 g(x) = - e^(-x)
는 항상 f(x) > g(x) 이지만 항상 f'(x) < g'(x) 랍니다.
f(x) = e^(-x) 와 g(x) = - e^(-x)
는 항상 f(x) > g(x) 이지만 항상 f'(x) < g'(x) 랍니다.
1073
2016-07-30 11:42:06
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강증가(감소)는, 도함수랑 상관이 없이, a < b 이면 f(a) < f(b) 이다 (감소는 반대) 입니다. 도함수가 0이더라도 강증가일 수 있습니다. 정확히 예를 들어주셨네요 감사합니다 ㅋㅋㅋ
f'(x) = 0 이 되는 경우는 극대값, 극소값, 안장점 3가지 경우가 있습니다.
극대, 극소의 경우에는 각각 증가하다가 ( f'(x) > 0 ) → 감소하든가 ( f'(x) < 0 ),
감소하다가 ( f'(x) < 0 )-> 증가하는 경우( f'(x) > 0 ) 인데요,
안장점은 굳이 표현하자면 그만 증가할까......? 하다가 에이 걍 계속 증가하자 ㅎㅎ 하는 경우라고 보시면 됩니다. f(x) = x^3 의 도함수인 f'(x) = x^2 을 그려보시면 이해가 되실겁니다. x = 0 일때 0 을 "톡" 찍고 그 점을 제외하고는 f'(x) > 0 이지요.
강증가를 굳이 도함수를 써서 표현하자면 f'(x) ≥ 0 이고 유한개의 0점을 가지고 있을 때 라고 보아야 합니다.
강증가/강감소가 나온 이유는, 말씀하신 대로 일대일 대응이면서 연속이려면 그래야 합니다. 증명은 직접 해보시길.
x^3 의 역함수는 존재합니다. 3승근 루트 x, 이거 댓글로 쓰기 어렵네요 ㅋㅋ
그리고 이 역함수의 도함수는 0에서 무한대로 발산합니다. 원래 함수가 미분가능하고, 미분한 함수가 연속이었다고 해서 역함수 역시 그러리라는 보장은 없습니다. 아주 좋은 예시를 들어주셨군요! ㅋㅋ 물론, 안장점에서 발산할 뿐 나머지 구간에서는 미분가능하고 연속이어야 하긴 합니다.
f(k) = g(k)=/=k 의 경우를 말씀하신 거군요, 문제 이해를 잘못했습니다. 죄송해요.
f(k) = g(k) = a =/= k 라고 합시다. 그렇다면 역함수의 정의에 의해서 f(a) = k 입니다.
f 에 2가지 값을 넣어보았으니, 우리는 평균값 정리를 쓸 수 있습니다. 써볼까요.
( f(k) - f(a) ) / (k - a) = (a - k)/(k - a) = -1
즉 f'(b) = -1 을 만족하는 b 가 a 와 k 사이에 존재해야 합니다.
말씀드렸다싶이 역함수가 존재하는 연속함수는 증가함수거나 감소함수거나 둘 중 하나이므로, 증가함수일 경우 a 와 k 가 다르면 모순입니다.
a = k 인 경우에는 f 가 (k,k) 를 지나는 임의의 일대일대응 함수이면 되므로 가능합니다.
f'(x) = 0 이 되는 경우는 극대값, 극소값, 안장점 3가지 경우가 있습니다.
극대, 극소의 경우에는 각각 증가하다가 ( f'(x) > 0 ) → 감소하든가 ( f'(x) < 0 ),
감소하다가 ( f'(x) < 0 )-> 증가하는 경우( f'(x) > 0 ) 인데요,
안장점은 굳이 표현하자면 그만 증가할까......? 하다가 에이 걍 계속 증가하자 ㅎㅎ 하는 경우라고 보시면 됩니다. f(x) = x^3 의 도함수인 f'(x) = x^2 을 그려보시면 이해가 되실겁니다. x = 0 일때 0 을 "톡" 찍고 그 점을 제외하고는 f'(x) > 0 이지요.
강증가를 굳이 도함수를 써서 표현하자면 f'(x) ≥ 0 이고 유한개의 0점을 가지고 있을 때 라고 보아야 합니다.
강증가/강감소가 나온 이유는, 말씀하신 대로 일대일 대응이면서 연속이려면 그래야 합니다. 증명은 직접 해보시길.
x^3 의 역함수는 존재합니다. 3승근 루트 x, 이거 댓글로 쓰기 어렵네요 ㅋㅋ
그리고 이 역함수의 도함수는 0에서 무한대로 발산합니다. 원래 함수가 미분가능하고, 미분한 함수가 연속이었다고 해서 역함수 역시 그러리라는 보장은 없습니다. 아주 좋은 예시를 들어주셨군요! ㅋㅋ 물론, 안장점에서 발산할 뿐 나머지 구간에서는 미분가능하고 연속이어야 하긴 합니다.
f(k) = g(k)=/=k 의 경우를 말씀하신 거군요, 문제 이해를 잘못했습니다. 죄송해요.
f(k) = g(k) = a =/= k 라고 합시다. 그렇다면 역함수의 정의에 의해서 f(a) = k 입니다.
f 에 2가지 값을 넣어보았으니, 우리는 평균값 정리를 쓸 수 있습니다. 써볼까요.
( f(k) - f(a) ) / (k - a) = (a - k)/(k - a) = -1
즉 f'(b) = -1 을 만족하는 b 가 a 와 k 사이에 존재해야 합니다.
말씀드렸다싶이 역함수가 존재하는 연속함수는 증가함수거나 감소함수거나 둘 중 하나이므로, 증가함수일 경우 a 와 k 가 다르면 모순입니다.
a = k 인 경우에는 f 가 (k,k) 를 지나는 임의의 일대일대응 함수이면 되므로 가능합니다.
1072
2016-07-30 04:55:43
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도함수가 0이되는 순간이 최소(혹은 최대 혹은 안장점)라는 것은 엄청 중요한 개념입니다. 제가 다른 리플에 "극값" 이라고 써둔게 다 그런겁니당!
1070
2016-07-30 04:37:30
0
qp 님이 답하신 것에 약간 덧붙이자면, 운동이 전달되는 속력은 해당 매질이 직접 진동할 때 파장이 번지는 속도, 즉 음속과 같습니다.
1069
2016-07-30 04:35:26
0
노력쟁이/ 어 사실 빛을 포함한 전자기파는 매질의 영향을 받기 때문에, '진공에서의 빛의 속도' 라는 상수가 아니라 전자기파라고 현상을 이야기하는 단어를 쓰시면 예외가 있긴 합니다!
1068
2016-07-30 04:23:16
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x^2이 항상 양수라는 점에서 착안하시면,
1/(x+1) 의 그래프를 좀 변형하면 x^2/(x+1) 의 그래프 개형을 얻으실 수 있을 것이고, 그래서 극값을 찾아주면 되겠다고 생각하실 수 있는데요....흠
사실 저라면 거꾸로 누가 a=x^2/(x+1) 이 해를 가지는 조건을 물어 때 원 문제의 식처럼 고쳐서 판별식을 쓸 것 같네요ㅋㅋㅋㅋ 쉬우니까요.
1/(x+1) 의 그래프를 좀 변형하면 x^2/(x+1) 의 그래프 개형을 얻으실 수 있을 것이고, 그래서 극값을 찾아주면 되겠다고 생각하실 수 있는데요....흠
사실 저라면 거꾸로 누가 a=x^2/(x+1) 이 해를 가지는 조건을 물어 때 원 문제의 식처럼 고쳐서 판별식을 쓸 것 같네요ㅋㅋㅋㅋ 쉬우니까요.
1067
2016-07-30 04:04:04
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역함수가 존재하면 강증가/감소 라는 말은 연속일 경우에만 성립합니다.
공돌이라서 엄밀하지 못하게 "유주얼 어썸션"을 해버렸네요ㅋㅋㅋ
공돌이라서 엄밀하지 못하게 "유주얼 어썸션"을 해버렸네요ㅋㅋㅋ
1066
2016-07-30 04:01:44
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F, G는 부정적분을 쓰신건가요? 그리고 k는 특정한 1개의 수 인가요? 헷갈립니당.
그냥 함수를 그렇게 쓰신거라면
역함수의 정의에 의해 f(k)=k 이기만 하면 g(k)=k 입니다.
다만 역함수가 존재하기 위해서는 강증가 혹은 감소 함수여야 하다보니, (k,k) 를 지나게 그리시려니까 헷갈리신 것 같습니다. (k,k)를 지나는 아무 감소함수 하나를 그리고 역함수를 고려해보시기 바랍니다.
예를들어,
f(x)=-2x+3, g(y)=-y/2+3/2 를 보시면
f(1)=g(1)=1 입니다.
그냥 함수를 그렇게 쓰신거라면
역함수의 정의에 의해 f(k)=k 이기만 하면 g(k)=k 입니다.
다만 역함수가 존재하기 위해서는 강증가 혹은 감소 함수여야 하다보니, (k,k) 를 지나게 그리시려니까 헷갈리신 것 같습니다. (k,k)를 지나는 아무 감소함수 하나를 그리고 역함수를 고려해보시기 바랍니다.
예를들어,
f(x)=-2x+3, g(y)=-y/2+3/2 를 보시면
f(1)=g(1)=1 입니다.
1065
2016-07-30 03:53:47
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앗 로그니까 x>0 이구나 ㅋㅋ
암튼 최소값은 정의역의 양 극단과 미분해서 0 나오는 지점 중에 있을테니 미분해보시면 ln(x) 이므로
함수값을 0 1 무한대 에서 살펴보시면 1에서 최소값 -1 을 가지므로 a가 1이면 되지요.
암튼 최소값은 정의역의 양 극단과 미분해서 0 나오는 지점 중에 있을테니 미분해보시면 ln(x) 이므로
함수값을 0 1 무한대 에서 살펴보시면 1에서 최소값 -1 을 가지므로 a가 1이면 되지요.
1064
2016-07-30 03:47:42
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1. 네 말씀하신대로 도함수가 큰거랑 원 함수가 큰건 바로 연결지을 수 없습니다. 하지만 응용은 가능하겠지요.
극단적인 예로, y=2x 와 y=x 을 봅시다. 사실 저기다 y절편을 아무 숫자나 넣으셔도 됩니다. dy/dx는 항상 2>1 이지만 원래 함수 끼리는 구간에 따라 달라지지요.
다만, 특이한점은 두 그래프의 교점, (0,0) 부터는 y=2x 가 항상 더 큽니다. 즉 이런 이야기를 할 수 있지요. x ≥ a에서 (두 번)미분가능한 두 함수 f, g에 대해
x=a 에서 f(a) > g(a) 이고, x ≥ a 에서 f'(x) ≥ g'(x)라면,
x ≥ a 에서 f(x) > g(x) 입니다.
즉 정의역이 0 이상 이런식으로 최소가 정해진 문제에 대해서는 글쓴이께서 쓰신 방법을 응용해도 됩니다.
본문의 문제 같은 경우, 실수 전체에서 정의했기 때문에
x lnx 와 x-a 두 함수를 비교하는것보다는, x lnx - x ≥ -a 라고 바꿔두시고 그냥 x lnx - x 의 최소값을 구하시는 쪽이 낫습니다.
극단적인 예로, y=2x 와 y=x 을 봅시다. 사실 저기다 y절편을 아무 숫자나 넣으셔도 됩니다. dy/dx는 항상 2>1 이지만 원래 함수 끼리는 구간에 따라 달라지지요.
다만, 특이한점은 두 그래프의 교점, (0,0) 부터는 y=2x 가 항상 더 큽니다. 즉 이런 이야기를 할 수 있지요. x ≥ a에서 (두 번)미분가능한 두 함수 f, g에 대해
x=a 에서 f(a) > g(a) 이고, x ≥ a 에서 f'(x) ≥ g'(x)라면,
x ≥ a 에서 f(x) > g(x) 입니다.
즉 정의역이 0 이상 이런식으로 최소가 정해진 문제에 대해서는 글쓴이께서 쓰신 방법을 응용해도 됩니다.
본문의 문제 같은 경우, 실수 전체에서 정의했기 때문에
x lnx 와 x-a 두 함수를 비교하는것보다는, x lnx - x ≥ -a 라고 바꿔두시고 그냥 x lnx - x 의 최소값을 구하시는 쪽이 낫습니다.
1063
2016-07-30 02:08:31
0
알고보니 제작비 부족으로 세트를 1개 밖에.....?!?!
어서 열일 해서 개인당 세트장 지어주시죠
어서 열일 해서 개인당 세트장 지어주시죠
1062
2016-07-29 16:18:58
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이아저씨는 ㅊㄱ대는 아니고 서울대 미대입니다...
하 어쩌다 샤대에 이따위 수준낮은 인간이 ㅠㅠ
하 어쩌다 샤대에 이따위 수준낮은 인간이 ㅠㅠ