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2016-08-01 07:47:55
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글쓴이께서 쓰신 대로, 답은 약 0.52 근처로 나올겁니다. 정확한 값은 (2 + √2 + 5invsinh(1))/15 = 0.5214... 라는 아주아주 더러운 식이 나옵니다.
쉽게 가기 위해서 1차원 수직선 [0,1] 상의 두 점을 계산해보면 확률분포가 p(x) = 2(1-x) 가 나옵니다. 거리가 1인 경우는 양 끝단 뿐이므로 확률이 0이고, 거리가 가까워질 수록 선형으로 증가할 것이며 전체가 1이 나오도록 노말라이징하면 저렇게 됩니다.
기대값은 적분해주면 ∫ ((0 to 1) p(x)*x dx = ∫ ((0 to 1) 2x-2x^2dx = 1/3 입니다.
2차원으로 가면, x랑 y 는 독립적으로 선택될 것이기 떄문에, x 좌표 차이를 x, y 좌표 차이를 y 라고 부르기로 하면,
기대값은 이렇게 됩니다. ∬2(1-x) * 2(1-y) * √(x^2+y^2) dxdy 가 됩니다. 이걸 적분하는건 좀 짜증나는 일이니 적분표를 찾으시거나, 수치해석으로 답을 구하면 되지요 :)