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2016-09-10 07:33:42
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삼각형 BCD에서 B에서 CD로 수선을 내리고 cos72를 계산해보십시다.
삼각형 ABC에서 이등변삼각형의 성질에 의해 각ABC=각ACB=72 이고, 삼각형 BCD 역시 이등변삼각형이므로 각 BDC=72, 각DBC=36 임을 알 수 있다.
그러므로 각ABD=36 이고, 각ABD=각BAD=36 이므로 삼각형 DAB는 이등변삼각형이며, 선분AD=선분DB=선분BC=1 임을 알 수 있다.
선분 CD의 길이를 x라 하자. 삼각형 ABC와 삼각형 BCD는 구성하는 각이 같으므로 닮음이므로, 선분AC:선분BC=선분BD:선분CD 가 성립한다. 즉 1+x:1=1:x → (1+x)x=1*1 → x^2+x-1=0 → x=- (1+sqrt(5))/2 (∵ 두 실근 중 x>0 이어야 하므로)
cos72를 구하기 위해, 점 B에서 직선CD에 내린 수선의 발을 M이라 하자. 삼각형 BCD가 이등변삼각형이므로 이등변삼각형의 성질에 의해 M은 선분CD의 중점이므로, 선분 MC=x/2 이다.
이때 cos72=선분MC/선분BC=x/2 / 1 = x/2 = (sqrt(5)-1)/4 가 됨을 알 수 있다.