2014
2015-05-10 06:15:17
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중간에 완전 반대로 잘못 쓴부분이 있어서 수정하고 다시 올립니다.
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좋은 방법도 안 떠오르고,
다소 무식한 방법으로 증명해본걸 써보자면,
0이 아닌 양의 정수 n에 대하여
f(n) = a1 + a2*10 + a3*100 + .... + an*10^(n-1)
(an은 0~9이며 a1은 1~9 라고 합시다.)
라고 정의해봅시다.
본문의 규칙대로 각 자리의 수의 제곱을 합한 것을
f'(n)이라 해보죠.
즉, f(n) -> f'(n) -> f''(n) -> f'''(n) 이런 식으로 진행 될 때,
f'(n) = a1^2 + a2^2 + a^3 + .... + an^2
인 수입니다.
an이 0~9이므로 an^2은 0~81이죠. (물론 a1^2은 1~81)
따라서 m자리 자연수
f(n)에 대해 f'(n)은 81*m 이하의 수가 되고
n이 세자리 이하의 자연수일 때, f'(n)은 243이하의 수에 대응합니다.
1~999 사이의 수는 그 다음 수가 1~243사이에 있죠.
그리고 n이 네자리 이상의 숫자인 경우
f(n)의 자릿수보다 f'(n)의 자릿수가 작기 때문에
계속해서 자릿수가 줄어들다가 1~324사이의 값에 대응되죠.
그런데 324역시 3자리 이하의 자연수라 다시 243이하의 수에 대응하고,
결과적으로 1~243사이의 숫자들이 89혹은 1로 수렴하는지 보면 되는데,
제 맥북이 수렴한다네요.
더 간단하고 좋은 방법들이 많겠지만... 이거말고는 당장 떠오르는 방법이 없네요.