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2013-09-28 22:57:25
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2번 정확히 뭘 이해를 못하신건지 모르겠습니다. 둘중하나겠지요. 두가지 다 언급해보면
1)g'(x)=1/{f-1(x)}' 이 왜 나온건지 모르는 경우.
=>교과서의 역함수의 미분법 파트를 다시 보시는걸 권장합니다. 거기에 자세하게 유도됩니다.
굳이 억지로 설명하자면 좌표평면상에서 y=f(x)와 y=g(x)가 있을때, y=f(x)의 정의역을 X로 치역을 Y로 정의하면
y=g(x)의 정의역은 Y 치역은 X가 됩니다.
보기좋게
f:(X,Y)
g:(Y,X)
정도로 표기해봅시다.
그럼 f'(x)라는것은 치역 Y를 정의역X에 대해서 미분한꼴이 되어
dY/dX=f'(x)가 됩니다.
g'(x)라는 것은 치역 X를 정의역 Y에 대해 미분하는꼴이 되어
dX/dY=g'(x)
입니다.
dY/dX의 역수는 dX/dY입니다. dY와 dX를 그냥 문자로 보고 역수취하면 나옵니다. 비슷한 방식으로 매개변수 미분법에서는 분모 분자의 dT를 약분시키는 방식으로 도함수를 구하기도하죠.
2)역함수의 미분법이 뭔지는 알겠는데 어딘가 모르게 뜬구름잡는 느낌으로 헷갈리는경우.
역함수의 미분법에서 흔히들 헷갈려하는 문제가, g(x)와 f(x)가 있을때, '두개의 x가 사실은 다른 문잔데 같아보인다.'라는데서 오는것입니다.
두 함수의 정의역과 치역을 좌표로 적어보시면 혼란이 싹 사라지실거같습니다.
위에서 정의했듯이 y=f(x) 정의역은 X 치역은 Y입니다.
y=g(x)의 정의역은 Y 치역은 X죠.
두개의 식을 정의역과 치역만으로 표현하자면
Y=f(X)
X=g(Y)
입니다.
즉 g(x)의 x와 f(x)의 x는 서로 다른 문자인거죠.