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2015-08-11 09:56:00
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일단 실수는 비가산 집합이기에 우리가 통상적으로 아는 방법으로는 증명하기 힘듭니다. 간단하게 생각할수 있는 방법은 유리수로 대신 계산하는 방법이네요. 1번 같은 경우에선 모든 실수를 더하는거보단 유리수를 더한다면..
예를들더 0.1보다 큰 유리수는 무수히 많습니다. 당연히 0이 아닌수를 무수히 더하면 무한하죠 (실수와 다른점은 수열의 급수를 사용할수 있습니다)
2번은 모든수를 곱한다는 것인데, 약간의 트릭을 써써 유리리수의 모든 곱을 생각하고, 로그를 씌우면 무한한 음수의 합이 되버립니다. (로그함수는 연속이기에 로그를 씌우는것에 문제는 없죠) 즉 로그를 취한값이 음수의 무한대 이면 당연히 모든 유리수를 곱한건 0으로 수렴하겠죠. 결론적으로 모든 무리수를 곱한것도 0으로 수렴할겁니다.
이런식으로 실수로만 생각한다면 평소에 생각한 수열같은걸 잘 쓰지 못할수도 있을거 같으니, 유리수와의 관계를 이용해서 계산하면 쉽게 구할수 있을거같네요