참고 http://en.wikipedia.org/wiki/Smale's_paradox

안을 밖으로

진리의 섬(Ivars Peterson저, 윤만식 역, 웅진출판사, 1993.9.15초판)에서 발췌

팽팽한 비치 볼의 안과 밖을 뒤바꾼다는 것은, 먼저 공기를 빼고 공기 밸브를 통하여 공을 뒤집은 다음, 마지막으로 다시 봉하는 것을 의미한다. 그러나 수학적인 구는 공기 밸브를 가지고 있지 않으므로 그것을 찢거나 자르지 않고서는 안과 밖을 뒤바꾼다는 것이 직관적으로 불가능해 보인다.
그러나 수학자들은 그들만의 고유한 규칙에 따라 그런 일을 수행할 수 있다. 표면 위의 두 점이 공간상의 한 점으로 표현될 수 있다면 구를 뒤집는 문제는 해결될 수 있다. 그 계획은 도형을 주름지지 않게 하면서 완전한 변형을 이루는 것이다.
직관적으로는, 구를 주름지지 않게 하면서 안과 밖을 바꾸는 수학적인 문제는 해결될 수 없을 것 처럼 보인다. 겉은 파랗고 속은 빨간 구를 생각해 보자. 구의 양 끝에서 그 중심을 향해 힘을 가해 밀어 보자. 그리고 그 중심을 지나쳐 밀게 되면, 원래 안쪽 면이었던 것이 바깥으로 튀어나오게 된다. 변형된 물체는 가운데가 파란 관으로 둘러싸인 빨간 구처럼 보이기 시작한다. 바깥에 남아 있는 그 관은 점차 얇아지기 시작해서 마침내 없어져 버리고, 결국 겉은 빨갛고 안은 파란 구가 만들어진다. 그러나 불행하게도 변형 과정에서 그 관은 자신 속으로 잡아당겨진 팽팽한 고리가 된다. 이로 인해 있어서는 안 될 날카로운 주름이 생긴다.(그림 1 참조)

그림 1 : 구의 안과 밖을 바꾸려면 구의 반대편 영역을 중심을 향해 밀어서는 안 된다. (b) 그 중심을 서로 지나치게 되면 원래 안쪽 면이었던 것이 두 면위로 튀어 나오기 시작한다. (c) 구를 만들려면 이 두면을 끌어내야 한다. 원래의 표면이 고리로 된 부분을 잡아당기면 표면에 주름이 생기게 되고, 구에서는 이것이 허용되지 않는다.

변환의 전 과정에 걸쳐 어떤 주름도 생기지 않도록 연속적이고도 매끄럽게 구를 뒤집을 수는 없을까? 마찬가지로 그 문제는 해결될 수 없을 것 처럼 보였고, 수학자들은 이 유명한 문제를 이 방법 저 방법 써가며 근 1세기 동안을 연구해 왔다. 구처럼 단순한 물체에 대한 문제가 이처럼 해결하기가 까다롭다는 사실 자체가 많은 수학자들에게는 신비로운 일이었고, 도전해 볼 만한 가치가 있는 것으로서 그들을 자극하기에 충분했다.
마침내 그것에 대한 답이 최초로 터져나왔다. 그 당시 대학원생이었던 수학자 스티븐 스메일(Smale)이 구를 뒤집을 수 있다는 것을 직접 도출해내는 추상적인 이론을 증명하였던 것이다. 그 결과는 너무나 놀라운 것이어서 심지어 그의 논문을 지도한 교수조차도 회의적이었으며, 거기에 틀림없이 오류가 있을 것이라고 주장하였다. 그러나 스메일의 증명에는 논리적인 오류가 없었다.
스메일의 노력에 의해 그의 증명과정에서 명확히 기술된 무수히 많은 정밀한 기하학적 도형들은 원칙적으로 그 과정의 어느 곳에서도 주름이 생기지 않게 구의 안과 밖을 뒤집는 방법으로 완벽하게 조립될 수 있음이 입증되었다. 그러나 구를 뒤집는 스메일의 단계적인 절차는 너무 복잡해서 그 어느 누구도 그 절차를 가시화시킬 수 없었다. 이와 같이 스메일의 발견으로 말미암아 수학자들은 구의 안과 밖을 뒤집는 것이 가능하다는 것은 알게 되었지만, 누구도 그것을 수학적으로 산뜻하게 나타내지는 못했다.
그 후로 구를 뒤집는 문제에 대한 시각적인 해결책들이 하나 둘씩 제시되기 시작했다. 아널드 사피로에 의해 가장 처음으로 제시된 실질적인 뒤집기 절차는, 구의 반대편에 위치하고 있는 두 곳을 동시에 그 구의 중심을 향해 눌러서 그 안쪽이 바깥쪽으로 튀어나오게 하는 것으로 시작된다. 그러면 그 표면은 뒤집기가 완성되기 전에 매우 복잡한 몇 가지의 중간단계를 거치는 과정에서 늘어나기도 하고 쭈그러들기도 하며 비틀리기도 한다. 샤피로 자신도 이런 변환에 있어서 지극히 중요한 단계를 그림으로 그려내지는 못했지만 그의 이론은 위상적인 논의를 기초로 한 것이었다.
마침내 많은 수학자들이 구를 뒤집는 과정을 시각적으로 보여주는 실행가능한 절차들을 밝혀 내게 되었다. (그림 2 참조) 이 절차들은 복잡한 운동들을 내표하고 있어서 수학자들은 그 변화가 어떻게 일어나는가를 묘사하는 더 단순한 방법들을 계속해서 조사하였다.

그림 2 : 주름이 생기지 않게 구의 안과 밖을 뒤바꾸는 문제는 구를 이상한 방법으로 변형해야 하는 복잡한 절차를 필요로 한다. 수학자 앤소니 필립스의 견해에 따르면, 그 과정은 단지 양쪽면을 구의 중심을 향해 미는 것으로 시작된다.(a) 그 다음에 그림 1에서 했던 것 처럼 서로의 중심을 지나도록 밀게 되면, 안쪽이 두 영역으로 튀어나오게 된다. (b) 그러고 나서 그 중에 하나가 다른 것 보다 넓어지게 되면 말안장을 닮은 표면이 만들어지게 된다. (c) 그 다음에 그 두 다리가 반시계 방향으로 회전하여 표면 (e)가 만들어진다. 이때부터 매우 정교하게 변형되지만, 결국 전 과정을 통해 어디에서도 주름이 나타나지 않는 안팎이 뒤바뀐 구가 만들어 진다.

1970년대에 들어와서, 구를 뒤집는 더 직접적인 방법을 발견한 사람은 프랑스의 위상수학자 베르나를 모랭이었다. 구를 뒤집는 절차를 발견하고자 한 그의 집념에 대해 수학자 조지 프랜시스는 다음과 같이 적고 있다.
"그는 우리들처럼 종이나, 연필 그리고 도형을 그리거나 관찰하는 일 때문에 주위가 산만해지지 않았죠. 그는 맹인이었습니다. 뛰어난 공간지각력을 지닌 그는 공간상에 주어진 표면에 대한 그 복잡한 호모토피들을 직접 결합해 내곤 했답니다. 그는 이중곡선에 대한 순간적인 변화들까지도 놓치지 않았습니다. 화가들에게 한 그의 연설은 그의 가슴속에 품고 있던 모델에 대한 생생한 묘사로 가득했죠."
모랭은 사피로의 연구를 한층 발전시켜, 구 뒤집기 과정의 가장 중요한 단계를 보여주는 일련의 3차원 진행과정을 한 벌의 평면도로 짜 맞추는 데 성공했다. 1977년, 넬슨 맥스는 놀라운 능력을 지닌 컴퓨터 그래픽스의 도움을 받아, 좌표를 사용하여 뒤집기 과정의 각 단계를 형상화한, 꼼꼼하게 땜질된 철사모델로부터 그 변환과정을 생생하게 보여주는 역동적인 필름을 만들어 냈다.
그러나 모랭과 맥스도 그 전과정을 기술해 주는 수학식을 제시하지는 못하였다. 수학자들은 그 도형을 볼 수는 있었지만 변환 그 자체의 수학에는 도달할 수 없었다. 아직까지도 해결되지 못한 채로 남아있는 그 문제는 구의 안과 밖을 뒤집는 과정에서 일어나는 매끄러운 변화를 묘사할 수 있는 일련의 방정식을 찾아내는 것이다.
1989년에 모랭은 구를 뒤집는 가장 간단한 방법을 발견하였다. 모랭의 방법을 사용하면 구 위에 있는 단 12개의 점들의 위치만 따라가면 된다. 이것은 이 문제를 풀기 위해서는 구가 12개의 꼭지점을 갖는 다면체와 동일하다는 전제가 있어야 함을 의미한다. 변환의 전 과정을 통해 이 점들의 좌표는 수학자들이 뒤집기 과정을 이해하는데 필요한 모든 정보를 제공해 준다.
모랭은 정육면체의 모서리를 잘라 낸 것 같은 14면체로 시작했다. (그림 3 왼쪽 참조) 이 다면체는 6개의 정사각형과 8개의 정삼각형으로 이루어 졌으며 12개의 꼭지점과 14개의 면을 갖고 있다. 모서리를 따라 꼭지점을 이동시키는 일련의 기본 이동을 하여, 모랭은 그 14면체를 12개의 면과 꼭지점을 갖는 '중심모델(central model)'이라 일컬어지는 이상한 도형으로 변형시켰다. 그 면 중 네 개는 톱니 모양의 사변형(모랭은 그것을 '말馬'이라 불렀다.) 처럼 보이는 오목 오각형이고, 그 나머지는 서로 다른 두 종류의 삼각형들이다. (그림 3 오른쪽, 그림4 참조) 일련의 여섯가지 기본 이동으로 중심 모델은 뒤집기의 어려운 각 단계를 거치게 된다. 한 바퀴 돌고 나면 안과 밖이 뒤바뀐 12면체가 만들어지는 것이다.

그림 3 : 모랭은 12개의 꼭지점을 갖는 구를 뒤집는 과정에, 6개의 정사각형과 8개의 정삼각형으로 구성된 14면체를 사용했다.(왼쪽) 그는 14면체를 중심 모델이라 불리는 것으로 단계적으로 변형시켰다. 중심 모델이란 4개의 오목오각형과 8개의 삼각형으로 이루어진 다면체를 말한다.(오른쪽) 그림에는 단지 정오각형으로 이루어진 고리만 보인다. 중심모델은 적절히 조작함으로써 14면체를 뒤집을 수 있으며, 한편 그것을 다르게 조작하면 뒤집어진 14면체를 원상태로 돌려놓을 수도 있다.

그림 4 : 수학자들은 일찍이 주름지지 않게 구의 안과 밖을 뒤바꾸는 것이 수학적으로 가능하다는 것을 증명했다. 이제 문제는 그 과정을 가시화시키는 것이 되어 버렸다. 그런 뒤집기에 대한 베르나르 모랭의 독특한 해석으로, 구 위에 있는 12개의 점만 따라가면, 변형과정을 전체적으로 볼 수 있게 되었다. 12개의 점이 4개의 오목오각형('말'이라고 명명된)과 8개의 삼각형으로 구성된 다각형의 꼭지점이 될 때가 특히 중요하다.

구 뒤집기에 대한 모랭의 다면체 모델로 말미암아, 변환 과정에서 표면의 모든 조각들이 어떤 과정을 거치는가를 더 쉽게 추적할 수 있었다. 12개의 꼭지점에만 주의를 집중시킴으로써 수학자들은 변환의 중요한 과정, 즉 꼬임이나 방향전환 등을 빠짐없이 지켜볼 수 있었다. 즉, 쓸데없이 복잡한 것은 무시하고 뒤집는 과정에 있어서 본질적인 부분에만 관심을 집중시킨 것이다.
구 뒤집기에 대한 가장 간단한 다면체 모델을 생각해 낸 것은 모랭이었지만, 구뒤집기에 다면체 모델을 사용한다는 생각은 그가 처음이 아니었다. 1988년에 존 후케스는 완벽한 구 뒤집기를 실행할 수 있는 컴퓨터 프로그램을 짜는데 사용할 방정식을 찾기위한 노력의 일환으로 수천 개의 꼭지점을 갖는 다면체 모델을 생각해 내었다.
명확한 방정식을 찾기 위한 후게스의 연구방향은 특별한 수식으로 이미 정의되어 있는 작은 조각들로 주어진 표면을 만드는 것이었다. 그것은 마치 다양한 천조각들로 누비이불을 꿰메는 것과 유사한 과정이다. 수학적으로 그 생각은 표면의 작은 일부를 정의하고 있는 다항함수들을 한데 모아 그것들을 더해서, 그 조각들을 매끄럽게 이어주는 것이다. 만약, 당신이 정사각형의 천조각으로 구를 싼다고 생각해 보면, 마지막 손질이 얼마나 까다롭고 중요한지를 알게 될 것이다.
그런 수학적 누비질을 한 후게스는 방정식을 찾아내었으며, 이 방정식을 사용하여 구뒤집기를 생생하게 보여 주는 역동적인 영상을 만들어 내었다. (그림 5 참조) 그런 형상화로 말미암아 이제는 수학자들로 하여금 그 변환의 독특한 특성들을 밝혀 내게 하고 있다. 예를 들어, 구뒤집기 과정 중에는 두 면이 만나서 생기는 '이중점'들이 여러 번 나타나는데, 뒤집기의 전 과정에 걸쳐 나타나는 모든 이중점들을 모아 보면 한 무더기의 곡선이 만들어지고, 그것들을 한데 붙이면 그 자체가 하나의 면이 된다. 수학자들은 이제 이 새로운 면에 대한 위상topology 을 탐구할 것이다.

그림 5 : 구뒤집기를 컴퓨터로 영상화하는 한가지 방법은 각각이 수학적 표현에 의해 정의되는 특정표면의 부분부분들을 누비이불처럼 기워 원하는 표면을 만드는 것이다. 그것의 내부를 볼 수 있도록 잘라 놓은 이 그림은 뒤집기 과정 중에 있는 구의 뒤틀린 모습이다.

구를 뒤집는 문제는 다분히 추상적인 수학적 생각을 가시화하려는 시도이기 때문에 계속해서 탐구될 것이다. 그 도형들을 더 분명하고 의미있게 하기 위해서는 해야 할 일이 아직 많다. 맨 처음으로 구뒤집기 과정을 시각화하는 방법을 찾고자 했던 수학자 중의 한 사람인 앤소니 필립스는 "그것은 상상을 필요로 하는 문제이다. 설명하기가 상당히 쉬운 문제이므로 실행하기도 매우 쉬울 것 같지만 실제로는 매우 복잡하다."라고 말했다.
구를 뒤집는 문제는 스메일의 정리에 의해 가능한 것으로 밝혀진 변환의 한 예에 불과하다. 그의 생각은 토러스나 도넛 혹은 우리에게 친숙한 기하학적 도형을 포함한 모든 사물에 적용될 수 있다. (그림 6 참조) 그러나 구를 뒤집는 경우와 같이, 어떤 일을 하는 것이 가능하다는 걸 아는 것과 그것의 실행 방법을 안다는 것은 많은 차이가 있다.

그림 6 : 토러스를 뒤집는 일은 구를 뒤집데 필요한 과정을 포함한다. 토러스로부터 작은 구를 뽑아내서(b) 그것을 뒤집는다.(c) 구가 토러스를 삼켜버릴 때 까지 계속 뒤집는다.(d) 그러면 뒤집힌 구의 바깥 면과 토러스의 안쪽 면을 연결해 주는 관은 더 커져서 토러스는 그곳으로 빠져 나오게 된다.(e,f,g) 마지막으로 구가 줄어든다.(h,i)

도형을 쓰지 않으면 좀 복잡해지긴 하지만, 그렇다고 모든 수학적 이야기를 도형을 써서 해야 하는 것은 아니다. 스메일의 증명이 그렇게 매혹적인 것은 그 속에 어떠한 그림도 포함하고 있지 않기 때문이다. 구뒤집기나 그 밖의 많은 다른 변환들과 같은 복잡한 문제들이 모두 시각적인 세계와는 거리가 먼 추상적인 언어로 표현된다. 그것은 기하학적인 문제를 탐구하는 수학자들이 도형에 의존하지 않고도 서로에게 얼마나 많은 정보를 전달해 줄 수 있는 가를 보여주는 놀라운 예이다.