프로포즈에 관한 수학적 고찰(펀글) 


여성은 언제까지 남자의 프로포즈를 튕길 수 있을
지... 
확률에 관한 짧은 지식으로 여성의 튕김의 끝은 어디
인지 밝혀본다. 

상황 설정은 이러하다. 

한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한
다고 하자. 
100명 중 백마탄 왕자는 한명 뿐이고, 여성는 그 남자
를 찾고 싶어한다. 

물론 그가 첫번째로 프로포즈할지 100번째로 프로포즈
를 해 올지는 알 수 
없을 것이다. 

여자가 100명의 남자 중 제일 멋진 남자를 고른다는 
건 너무 불공평하니까 
한번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자는 선
택할 수 없다고 하자. 

즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명
의 남자를 차례로 튕겨버
렸 
다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼하는 수 밖에 
없다. 
물론 첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면 99명의 남
자가 어떤 남자인지 보
지 
도 못한다. 
자! 그렇다면 여자에겐 전략이 필요하다. 


< 몇명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남
자 중 제일 멋진 남자와 결
혼하자. > 

여자에게 몇명까지 튕겨보는게 가장 합리적인 전략이 
될까? 


(풀이 과정) 

조건부 확률을 생각해 볼 수 있다. 
B : 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률. 
A1 : 백마탄 왕자가 첫번째로 프로포즈해올 확률. 
A2 : 백마탄 왕자가 두번째로 프로포즈해올 확률. 
. 
. 
. 
A100 : 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈해올 확률. 


그러면 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률
은 다음과 같이 표현된다. 
P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + ... +P
(A100)P(B/A100) ----(1) 

이제 우리의 여성이 r명까지는 일단 튕겨보고 
그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하
기로 했다고 하자. 
그러면 P(B/A1)=0, P(B/A2)=0, ..... , P(B/Ar)=0 이
다. 

(당연히 최초 r명 안에 백마탄 왕자가 있었다면, r명
까지는 튕기기로 한 여자 
의 작전은 완전 실패다.) 

P(B/A(r+1))=1=r/r 
(당연히 r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다
면 r명까지 튕긴 여자는 

이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거
니까 백마탄 왕자 픽업할 
확률은 100%다.) 

P(B/A(r+2))=r/(r+1) 
P(B/A(r+3))=r/(r+2) 
... 
P(B/A(99))=r/99 
P(B/A(100))=r/100 

r+2번째에 백마탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 
한 남자가 이전에 튕긴 
r명보다 나은 남자였다면, 여자는 최초세운 전략상 그
냥 r+1번째 남자의 프로 
포즈를 받아들이게 되고 그러면 r+2번째 남자는 보지
도 못하니까, 여자의 입
장 
에서는 또 전략상 실패다. 

따라서 r+2번째 남자(백마탄 왕자)의 프로포즈를 받
기 위해서는 r+1번째 남자
가 
기존의 r명보다 나은 남자여서는 안될 것이다. 
다시 말해 
백마탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 
괜찮은 남자가 
r번째이전(r번째 포함)에 여자에게 프로포즈를 하면 
된다. 
r+1번째에만 있지 않으면 된다. 

1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확
률은 r/(r+1)이다. 

같은 방식으로 백마탄 왕자가 r+3번째로 프로포즈를 
한다면 
r+1번째 r+2번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리
면 안된다. 
그러려면 백마탄 왕자 이전의 남자들 중 가장 멋진 남
자가 
r번재 이전(r번째 포함)에 있으면 된다. 

그러면 r+1번째, r+2번째 남자가 r번째까지의 남자보
다 멋질 수 없으므로 
여성는 r+3번째 남자가 어떤 남자인지 살필 기회를 갖
게 된다. 
확률은 r/(r+2) 

이런 식으로 동일한 풀이 과정을 거치면 백마탄 왕자
가 백번째로 프로포즈 
해올때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 
확률은 r/100 
이 결과를 (1)식에 대입하면 

..100....1.......r 
sigma --- * --- 
..x=r..100.......x 

이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다. 

항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하
자. 

.......................1.......r 
integral r->100 --- * --- dx 
......................100......x 


...r.........100 
= --- [lnx] 
..100........r 

어차피 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는것
이고, 상수항과 계수는 
신경 안써도 되니까 

d 

--[ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r을 찾자. 

dr 

(답) 

r = 37 


답이 나왔다. 37명이다. 
보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10명이
라고 하면 
여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도 4명부터는 
튕겨서는 안된다는 계산
이 
나온다. 
그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 된다는 것이다. 
솔직히 10명도 많다. 
보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면 
최초 한명 쯤은 공주병 환자처럼 튕겨볼 수 있으나 
두번째 남자가 프로포즈해올 경우... 
첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들여
야 한다는 것이다. 
그만 튕기고... 


뭇 남성들이여~ 

만약 사귀자고 했는데도 그녀가 튕긴다면... 
그 여자 눈앞에다 연습장 펼쳐놓고 인테그랄 한번 쌔
려주자 ..
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