잠시 일하고, 똥도싸고 밥도 먹고 다시금 글을 쓰네요.

지난 시간에는 양자역학의 이론체계의 맛뵈기를 보았는데, 이번에는 불확정성의 원리와 양자역학에 대하여 살짝 이야기 해보려 합니다.

약간 복습을 하자면 양자적 세계는 측정을 통해서 우리가 알 수 있는데, 측정을 오퍼레이터를 통해서 합니다. 오퍼레이터는 허미시안 오퍼레이터 이어야 하며, 이에 대응되는 아이겐스테이트가 있으면 아이겐 벨류를 구할 수 있습니다. 그리고 이 아이겐 벨류는 실수 이어야 합니다.(사실 선형대수를 배우지 않은 학생은 좀 이해하기 힘든 오쏘고날 한다던지, 컴플리트 셋 등등의 좀더 많은 특성이 있지만..... 별로 중요하진 않죠?^^(사실 문제풀려면 매우 중요하죠ㅠㅠ))

정리하자면 다음 세가지만 기억하시면 됩니다. 

오퍼레이터, 아이겐스테이트, 아이겐벨류.

뭐 문제를 풀것은 아니기 때문에.... 넘어가죠;;;

각설하고 지난번에한 슈바르쯔 부등식에 따르면(양변을 제곱하고 역시다 간편한 디락 표기법을 사용하면)

<f|f><g|g> >= |<f|g>|^2 이성립하죠.
또한 임의의 복소수 z에 대하여 |z|^2 = [Re(z)]^2 + [Im(z)]^2 >= [Im(z)]^2 = [1/2i * (z-z‡)]^2이 항상 성립하죠 (여기서 z‡는 z의 켤레 복소수) 요걸 슈바르츠 부등식과 연립하면 
<f|f><g|g> >= (1/2i*[<f|g> - <g|f>])^2 이 됩니다. 어디서 많이 본듯한 식이죠? 바로 일반화된 불확정성의 원리 입니다. (요것도 뭐 수학이네요) 여기에 우리가 잘아는 위치 오퍼레이터와, 운동량 오퍼레이터를 집어 넣으면 하이젠베르크의 불확정성 원리가 나오겠네요.

<f|g> - <g|f> 를 커뮤테이트 릴레이션 이라고 하는데, 결과값이 실수라면 물론 0 이겠지만, 그렇지 않는다면 무조건 허수가 나오겠군요. 뭐 어찌되었든 서로 커뮤테이트 할 수 있는 연산자들끼리는 0이 나올테고, 그렇지 않는 것들은 불확정성의 원리를 만족 하겠네요. 

무슨 말인가 하니, 서로 호환되는 관측량들의 경우(커뮤테이트 릴레이션이 0인 경우) 공통의 아이겐스테이트를 공유할 수 있다는 말입니다. 예를들어 수소원자와 같은 경우 해밀토니안, 각운동량, 각운동량의 z 성분 등은 서로 호환되는 관측량이라서 하나의 아이겐스테이트를 찾으면 여기에 오퍼레이터만 곱해주면 아이겐 벨류가 바로바로 튀어나온다는 소리이지요.
반면에 운동량과 위치와 같은경우 서로 커뮤테이트 하지 않아서( 0이 아니라서) 공통의 아이겐스테이트를 찾을수 없게 됩니다.

다시 처음으로 돌아가서 측정이라는 오퍼레이터를 취하면 이에 따른 아이겐 벨류 값이 나와서, 우리가 찾고자 하는 값이 튀어져 나옵니다. 하지만 특정 측정과 동시에 측정이 가능한 것들이 있고 가능하지 않은 것들이 있습니다. 가능 한것은 별 문제가 없이 하나의 아이겐스테이트를 찾으면 되지만, 가능하지 않은것들은 그 아이겐 스테이트가 적합하지 않은 것이어서 결과값이 이상한 값이 나올수 있다는 것입니다.

다시말해 우리가 아무리 적당한 힐버트 스페이스에 있는 아이겐스테이트를 찾았다 하더라도 다른 오퍼레이터(커뮤테이트 하지 않은 오퍼레이터)를 사용하면 더이상 그 아이겐스테이트는 힐버트 스페이스에 있지 못할수 있다는 것이며 무턱대고 이 아이겐 스테이트에 다른 오퍼레이터를 취하게 되면, 이로인해 결과값이 알수없는 이상한 값이 되더라도 전혀 이상할게 없다는 것입니다.(원래 양자적 세계란 그런것이니까요^^) 그렇다면 다른오퍼레이터를 사용할때는 어떻게 해야할까요? 당연히 그 오퍼레이터에 적합한 아이겐스테이트를 다시 찾아야 할 것입니다. (오마이갓! 이미 애써서 오퍼레이터에 맞는 아이겐스테이트를 찾았음에도 불구하고 말이죠!!!)

이번에도 길어졌군요.

결론은 이거입니다.
1. 만약에 여러분이 어떤 에너지 하에 질량을 계산해 보았는데 질량이 허수가 나오더라도 결코 노여워 하거나 슬퍼하지 마십시오. 그것은 여러분이 계산을 잘못한게 아닐수도 있습니다. 단지 에너지와 질량을 동시에 측정이 불가능 할 수도 있다는 소리입니다.
2. 불확정성의 원리는 부등식입니다. 매 측정마다 값이 다를 것이며, 오늘은 웬지 기분이 나빠서 아무것도 제대로 측정할수 없는 상태가 될 수도 있습니다.