제가 오유에 자주 들어오는 사람이 아니라 오늘 게시물을 확인해 보니 점점 이야기가 산으로 가더군요^^

뭐 활발한 토론은 흥미가 있으면서 소모적이기도 하지만 무언가 정확히 하지 않으면 뜬구름 잡기로 가기 일수이니 중간에 양자역학에 대하여 살짝 이야기 해보려 합니다.

본 내용은 제가 학부, 대학원 그리고 독학 으로 습득한 짧은 지식이지만 처음 양자역학을 접하는(그래도 어느정도 양자역학에 관심이 있어서 조금은 아는) 사람에게 조금 유용할 것 같아 이렇게 적어 봅니다.

우선 제한을 걸어 둡시다. 본 양자역학은 양자적 현상이 일어나는 세계(미시세계라고 칭해보죠)에서 적용되는 학문이며 너무 빠르지 않은 시스템(상대론적 양자역학이 아닌)에서 기술되는 것이라고 합시다. 더불어 타임-인디펜던트 하면 더 좋구요.(아니면 못풀어요ㅠㅠ)

음... 어디서부터 시작해야 할까요.

파동함수 라는 것부터 시작 해 봅시다.

양자역학에는 파동함수 라는 것이 있습니다. 각설하고 이 파동함수의 제곱은 입자의 상태에 대한 확률이라고 하지요. 간단한 예로 입자가 공간상 어딘가에 존재할 확률이라고 해 봅시다. 이 파동함수의 제곱을 한후 모든 공간에 적분을 하면 1이 나오겠군요. 입자가 어딘가에는 있을 테니까요. (이래야만 '물리적 상태'를 나타내는 함수일테니까요. 아니면 물리학에 의미가 없죠. 그건 수학에서나 의미가 있을뿐...)

여기까지는 별 문제가 없네요.

그럼 이러한 파동함수가 가져야할 성질은 무엇일까요? 그것은 제곱해서 적분이 가능 해야겠네요. 파동함수를 제곱적분한 함수 또한 제곱적분 할수도 있겠네요. 이러한 함수들이 모인 공간이 있을테고 파동함수는 그 일부가 되겠군요.(선형대수에서는 complete inner product space 라고 했던것 같지만....) 뭐 이공간을 힐버트 스페이스 라고 불러 봅시다. 

여기까지도 별 문제가 없네요. 함수가 어찌 되었던(실수형 이든 허수형이든 전혀 상관 없습니다. 단지 내적에 대해서 닫혀 있기만 하면 되지요.)

함수의 내적을 다음과 같이 적어 봅시다. 
함수 f(x) 와 g(x)의 내적이라면 우리가 친근(?)하게 알고 있는 디락-표기법에 따라 적어보자면(요게 더 간단 하잖아요?^^) <f|g> 가 되겠군요.

슈바르츠 부등식에 따라서(닫힌 차원의 공간에서는 항상 성립하죠 - 선형대수 참조)
|<f|g>| <= sqrt(<f|f><g|g>) 가 항상 성립하므로 <f|f> 는 항상 실수(real) 이고 절대로 0보다 작지 않지요. 즉 무슨말인고 하니... 물체의 상태를 기술하는 상태함수와는 별개로 그 결과값은 항상 0보다 큰 real number 라는 것입니다. 

뭐 여기까지는 수학적인것이네요.

자 다시 물리로 넘어가서 우리가 어떤것을 측정 한다고 해 봅시다. 측정하는 것을 오퍼레이터라고 한다면(오퍼레이터는 대문자로 쓸께요 구분을 해야하니..) 그것의 기대값은 다음과 같이 나오죠.
<Q> = <f|Q f>  
요거는 <Q f | f> 랑 똑같다는 것은 슈바르츠 부등식에서 나오죠. 뭐 이러한 오퍼레이터를 허미시안 오퍼레이터라고 불러봅시다. 어떠한 상태 함수에 오퍼레이터를 취했을때 나온 값이 관측 가능한 물리량이라고 친다면 그 값은 허미시안오퍼레이터에 의해서 나오고, 따라서 기대값은 항상 실수입니다. 

요기까지도 수학이네요.ㅠ

물리로 넘어가서 우리가 운동량을 측정할 수 있다고 봅시다. 운동량이 단순히 위치에 대한 미분형태(d/dx와 같이)로 나타난다면 허미시안 오퍼레이터가 될 수 없죠. 따라서 운동량을 측정가능하도록 생각 해보면 운동량은 -i 가 붙은 미분형태( -i d/dx) 가 되겠군요. 와우! 우리는 운동량을 드디어 측정 할 수 있게 되었네요.(사실 양자적양으로 기술하기 위하여 '하바' 가 붙지만 그리 중요하지는 않죠. 그냥 1로 표기하기도 하고....) 여기서부터가 시작입니다. 운동량을 측정하면 우리는 고전적으로 해밀토니안도 생각해 볼 수 있겠네요. 해밀토니안 H 는 p^2/2m + V 로 기술 되죠. (해밀토니안과 에너지의 다른점이 뭐냐고 물으신다면, 때로 에너지와 해밀토니안이 차이가 나는 경우가 몇몇 상태에 대해서 있기 때문에 물리에서는 구분을 해주죠.) 이는 허미시안 오퍼레이터가 되네요.
와우! 우리는 에너지도 나타낼 수 있는 해밀토니안 오퍼레이터도 찾았어요!!!(참 쉽죠?)

정리를 해봅시다. 파동함수라는 것이 존재를 하면 이는 힐버트 스페이스에 있고, 힐버트 스페이스에 있기만 하면 거기에 측정이라는 오퍼레이터를 취하면 그 결과값은 최소한 실수 이어야 합니다. 

하지만 여기서 문제가 발생하죠. 우리가 측정이라는 오퍼레이터를 취했는데, 나오는 값이 과연 오퍼레이터에 맞는 값인가? 예를들어 운동량을 측정하기위하여 P라는 오퍼레이터를 취했는데 나온값이 측정 할때마다 다른값이 나온다면? 그리고 만약에 상태함수가 제곱적분에 대하여 1이지만 특정구간에는 분명 제곱적분이 0이면서도 상태함수자체가 존재하는 상태가 있을수 있지 않나? 뭐 두번째 문제를 생각 하는 사람은 분명 수학자 일테지만요....(물론 엄청 이상한 상태함수가 두번째 경우와 같은 형태가 될 수 도 있겠지만요... 물리에서 중요한 문제는 아닙니다만...) 첫번째 문제는 우리가 상태함수를 잘 정의하면 해결이 됩니다.
힐버트 스페이스 안에 여러 상태함수들이 있을테고, 그 여러 상태함수들중에 내가 원하는 오퍼레이터를 취하였을때 원하는 값이 나오는 상태함수를 취하면 이 문제는 해결이 됩니다.
예를들어 모멘텀을 측정하면 p라는 모멘텀 값이 나와야 합니다. 즉 P라는 오퍼레이터를 어떤 상태함수에 적용하면 p가 튀어 나와야 겠지요. 그러한 상태 함수를 eigen funtion 이라고 칭하고 이에따라 나오는 값을 eigen value라고 하지요.
여기서 또 문제가 발생하네요. 내가 어떤 물리량을 측정 했는데, 그 물리량을 나타낼 수 있는 아이겐 펑션이 힐버트 스페이스에 없으면 어쩌지? 그리고 아이겐 벨류가 실수값이 아니면 어쩌지? 라는 문제가 발생하는 군요.
이는 처음에 입자의 상태를 기술하는 상태함수를 모든 공간에대하여 적분하면 1이 나온다는 것으로 해결 할 수 있습니다. 아이겐 벨류가 실수값이 아니면 양의 무한대나, 음의 무한대 공간에 대하여 적분할때 발산하게 되거든요. 이는 어떤 연산자의 아이겐펑션이 힐버트 스페이스에 없더라도, 어떤 복소수더라도 결코 아이겐 벨류값으로 가질 수 없게 됩니다.

아... 써놓고 보니 기네요.. 이게 양자역학의 도입인데..... 씁;;;; 간만에 8년전에 보았던 양자책을 먼지를 털었군요. 나중에 좀더 자세한 양자역학을 이야기 해볼까 합니다.

결론1. 상태함수나, 오퍼레이터나 허수이든 실수이든 전혀 상관은 없는데, 측정값은 온전히 0보다큰 실수 이어야 한다는 것입니다.^^
결론2. 양자역학을 열심히 공부해서 훌륭한 과학자가 되어 보아요~^^