오랜만에 과게가 재밌어져서 또 잠시 등장했습니다. (내 심심한1인 닉넴 돌려줘..ㅠㅠ)
우선 수를 개수의 개념으로 아이들에게 가르친다는 것은 굉장히 흥미로운 생각이었습니다.
물리 부분에서도 마찬가지지만 우리가 흔히 초,중,고,대학교 과정을 거치면서, 이전에 배웠던 개념이 바뀌는 것을 알게 되니까요.
(관련해서 동영상이 있었던 것같은데 기억이 안나네요)
다만 이렇게 가르치는 이유는 그것이 해답이어서가 아니라 그 나이 때, 혹은 사고의 확장이 아직 되지 않았을 때, 그 지식 수준에서 합리적으로 혹은 이해하기 쉽게 받아드리기 위함이지 그것이 답이어서가 아닙니다.
개인적으로 가르칠 때는 그런식으로 가르칠지 몰라도, 가르치는 사람은 그게 답이 아니란 것을 알고 있어야 한다고 생각합니다.
그래서 그 사고의 틀이 굳건해 지지 않도록 해야하기 때문이죠.
만일 사고의 범위가 잘못된 틀에서 굳건해져 버린다면 오히려 실제로 사고가 확장을 하고 제대로 된 해답을 알아야 할 때, 굳건해진 잘못된 사고의 범위가 진입장벽이 되버리기 때문입니다.
서두는 여기까지 하고 본론으로 들어가겠습니다.
개수의 정의
개수 : 한 개씩 낱으로 셀 수 있는 물건의 수효.
이를 그 분 표현되로 표현하면 단위유닛에 따라 정의가 될 수 있겠지요.
그런데 이러한 사고에는 문제가 있습니다. 이러한 부분에 대해서 쉬운 부분부터 사고를 확장시키며 들어가 보겠습니다.
0. 수의 연속성
일단 수라는 것이 개수로 표현되면 가장 문제가 되는게 바로 이 연속성이 깨진다는 것입니다.
위의 개수라는 것의 정의를 살펴보면 개수라는 것은 특정한 단위에 의해 낱으로 표현할 수 있는 것이죠.
반대로 말하면 수를 개수로 표현한다는 것은
어떤 수라고할지라도 단위유닛에 따라 표현할 수 있어야함을 말합니다.
하지만 이러한 최소단위유닛이 수에는 존재하지 않습니다.
만일 존재하게 된다면 수는 더이상 연속적이지 않게 됩니다.
일단 이 부분만 보더라도 수를 개수로 표현하는 것은 잘못되었다고 할 수 있습니다. 그럼 다른것들도 말해보죠.
1. 분수
분수라는 개념은 개수로 표현이 될 수 없습니다.
1/3 = 0.33333333333333333 ~~~ 이 가는 거겠죠
물론 반대로 생각하면 1을 1/3으로 나눈 수치를 1/3으로 표현을 한다면 개수 단위로 생각이 가능합니다
1을 단위로 잡는게 아니라 1/3을 단위로 잡을 경우 반대로 1이 1/3이 3개 라는 식이라고 말씀하실수는 있겠네요.
하지만 여기에 대해서 말씀드리면 원인과 결과가 반대가 된 케이스라고 말씀드리고 싶습니다.
단위유닛인 1을 이용해서 1/3을 개수형태로 표현하고 싶었던 것이지 1/3을 이용해서 1을 표현하는게 문제가 아니었으니까요.
뭐 하지만 이정도 까지는 이해하도록 하겠습니다 어쩄던 1/3이 3개가 되면 1이 되니까 이해할 수 있는 범위로 두겠습니다.
2.음의 정수
우리가 쉽게 말하는 -1,-2,-3 등은 실제로 존재하는 것이 아닌 일종의 허상과 같은 추상적 개념입니다.
-1개 라는 것은 물리적으로 존재하지 않습니다. 단지 추상적으로만 존재할 뿐입니다.
예를들어 A가 B에게 사과 하나를 주어야 한다면 A의 사과 갯수는 -1개 라는 개념이 있다고 하겠습니다.
여기서 -1개 라는 것은 말 그대로 개념이지 실제로 물질상으로 존재하지 않습니다. 다만 추상적인 개념일 뿐이지요.
뭐 이것도 굳이 추상적인 개념에 대한 이해가 확실하다면 -2는 -1이 2개 라는 식으로 설명할 수는 있겠죠.
존재하지도 않는 -1이라는 개념이 당연히 개수로써 2개 3개 이런식으로 존재할 수는 없지만 아무튼 이 부분도 굳이 우기면 이해할 수 있으니 넘어가보도록 하겠습니다.
3. root의 정의.
root는 분명히 실존하는 수임에도 불구하고 개수로 존재할 수가 없는 수입니다.
root(2)의 경우 한변의 길이가 1인 직각 이등변삼각형의 대각선 길이가 될 터이고, 분명히 존재합니다.
다만 이를 개수형태로 말할 수 없습니다.
이에 대하여 그분 께서는 root2는 root2가 1개라는 표현을 쓰셨는데 이렇게 되면 굉장히 큰 오류가 발생합니다.
root2를 하나의 단위유닛으로 생각한다면 이 단위유닛으로는 다른 수를 표현하기가 애매해집니다.
쉽게 설명하면 다음과 같습니다 root2 =a라는 단위유닛을 쓴다고 가정할 때 3을 표현하려면 다음과 같습니다.
a가 a개인 것의 1/2 =우리가 쓰는 1이 됩니다.
그런데 단위유닛이 root2가 되었으므로 1/2역시 root2를 이용해서 표현해야합니다
그러면 표현은 이렇게 되겠죠
(a가 a개)*1/(a가 a개)
= a^2*1/(a^2)
그런데 또다시 1이 나옵니다.
root2라는 단위유닛으로는 1이라는 수를 표현할 수 없습니다.
그러면 이렇게 생각할 수도 있습니다 기존의 자연수를 그대로 쓰면서 root2에 대해서는 단위 유닛을 쓰겠다.
그러면 1+root2는 "1이 1개 에 root2라는 유닛이 1개인 수"
로 받아드리신다는 의미겠지요.
그러면 무리수가 등장할 때마다 새로운 단위유닛을 정의해야합니다.
이 표현을 써서 (root5-root2)(root5+root2)를 쓰게되면
(root5라는 개념한개 - root2라는 개념 1개)가 (root5라는 개념 1개 + root2라는 개념 1개)만큼 존재하는 수 라고 해석을 해야겠네요.
결과적으로 (root5가 root5개만큼 존재한수) - (root5가 root2개만큼 존재한수) + (root2가 root5만큼 존재한 수) - (root2개가 root2개만큼 존재한수) = 3 이라는 결과가 도출되겠네요.
뭐 상당히 비효율적이긴 하지만 이 또한 넘어가 보도록 하겠습니다.
4. infinity.
0번의 개념과 더불어 단위유닛을 무한소로 정의한다고 해보겠습니다.
무한소를 적용하기 위해서는 극한과 무한대의 개념을 이해해야 할텐데요, 극한을 제끼더라도 무한대에 대해 개수의 개념으로 표현이 가능할까요?
그분 말씀에 따르면 무한대라는 것 자체에대하여 1개라는 개념을 붙여야 할텐데요.
1+infinity = infinity
여기서 개수의 정의를 따진다면 무한대 한개 + 1 = 무한대 한개 라는 개념이 발생하게 됩니다.
이 부분에 대해서는 어떻게 정의하실지 궁금합니다.
그외에 infinity-infinty 는 어떻게 정의가 되나요? 개수로의 정의라면 무한대 한개 - 무한대 한개 = 0일텐데 현실은 그렇지 못하죠
5. 자연로그 e
앞서 나온 무리수 중의 하나의 e입니다
사실 e의 정의는 lin(n->infinity)(1+(1/n))^n인데요.
이걸 개수로는 어떤 식으로 정의할지 모르겠습니다.
e 자체를 개수로 정의한다고 하면
이것을 위해 e라는 것의 정의 즉 단위유닛을 말해야합니다.
그럼 단위유닛인 e에 대해서는 개수라는 수의 개념을 통해 어떤식으로 정의되어야 할까요?
n이 무한대로 갈때, (1+(1/n))^n
을 정의해주어야 하겠지요.
그냥 단순히 e가 1개 2개 쓰는 것은 가능합니다만
그 단위유닛인 e의 정의를 개수로 풀어쓰면 다음과 같겠네요
(1이하나 + 1/무한한수)가 무한히 많이 곱해질 경우
이 역시 infinity와 마찬가지로 개념을 개수로서 어떻게 정의하실지 모르겠습니다.
6. 허수
뭐 3,4,5번을 어떻게던 개념정립했다고 하겠습니다.
여기서 그럼 또 하나의 난관인 허수가 있습니다.
i*i=-1
이 부분에 대해 말씀하신 개수를 이용해 i가 i개 존재하면 -1이라고 억지로 정의해보겠습니다.
그럼 1/i는 어떻게 될까요?
1/i는 1이 i만큼 있는 수가 되겠죠
그럼 root(1/-1)을 해본다고 하면
이전에 root라는 걸 정의했을 때를 생각하면
root(1을 -1개만큼있다고 가정함)
=root(-1)
이고 root(-1)= i라는 개념임으로
1/i = i가 되버릴 텐데요.
이 부분은 어떻게 설명하실지가 궁금합니다.
긴글읽어주셔서 감사합니다.
