어디까지를 이해로 봐야 하고 어디까지를 암기로 봐야 할까요?
고등수학 기준으로 생각하겠습니다.
이해가 무엇인지 알아보기 위해 예시를 들어보겠습니다.
Ex.1)
반지름 r의 구의 부피가
V＝4/3 πr³
임을 이해했다. 암기했다.
여기서 이해했다는 것은, 무엇을 이해했다는 거고, 암기했다는 것은 무엇을 암기했다는 것일까요?
좀 더 구체적으로 적어봅시다.
구의 부피에 대해 암기했다는 것은,
"구의 반지름이 r인 경우에 구의 부피는 'V＝4/3 πr³'이 된다."는 것이고,
이해했다는 것은,
"구의 반지름이 r인 경우에 구의 부피는 'V＝4/3 πr³'이 된다." 가 되는 이유를 알고 있다는 것이죠.
고등수학 기준으로 그 이유를 설명해보겠습니다.
(구분구적법 배우기 전)
초등, 중등과정? 에서 원기둥의 2/3의 부피가 구의 부피임을 이용해서 구의 부피를 구했습니다.
또한, 이를 보여주기 위해, 구에 물을 채우고, 이를 원기둥에 옮겨 넣어서 2/3임을 보여줌으로써, 직관적으로 보여줬습니다.
이는 적절한 이유겠죠? 또한, 이는 이해한 것입니다.
(구분구적법을 배움)
구를 수많은 원기둥으로 나눈 이후에, 극한을 이용해 구의 부피를 구합니다.
이 또한 적절한 이유겠죠? 이것도 이해한 것입니다.
Ex.2)
삼각함수의 덧셈정리가
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
임을 이해했다(?) 암기했다.
이또한 구체적으로 들여다봅시다.
삼각함수의 덧셈정리를 암기했다는 것은
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…③
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…④
이 수식들을 하나하나 외웠다는 것입니다.
그럼 여기에서 이 수식은 이해했다고 말할 수 있을까요?
수식이 어떻게 나오게 됬는지는 말할 수 있습니다.
이것도 고등학교 기준으로 그 이유를 설명해보겠습니다.
(내적 배우기 전)
원을 이용해 cos(α-β)를 유도합니다. (자세한 것은 고등교과 참조) 그 후 값을 조절해서 4개의 식을 유도할 수 있습니다.
수식이 이렇게 나옴을 이해한 것입니다.
(내적 배운 후)
내적으로 cos(α-β) 를 유도합니다.(이건 교과서에 실려있지 않은 걸로 알고 있습니다) 위와 동일.
이것도 수식이 이렇게 나옴을 이해한 것입니다.
Ex.3)
정의(Definition)는 어떻게 봐야 할까요? 원의 부피를 암기, 이해로 나눴고, 어떤 정리를 암기, 이해로 나눴습니다.
정의는 암기 이해로 나눠질 수 있을까요? 정의는 그게 정의이니 외워야만 할까요?
정적분의 정의를 예로 들어보겠습니다.
이 관계식, 즉 등호 관계는 정의입니다. 이를 이해했다. 암기했다. 로 나눌 수 있겠는데요.
우선 암기했다고 한다면, 위 수식 자체를 외운 것이겠죠.
이해는 어떤 것일까요?
고등학생이 우측의 식을 이해하려고 합니다.
f(x)라는 함수를 구간 [a,b]에서, 밑변을 Δx 크기로 만들고, 높이는 f(xk)로 이루어진 직사각형들을 n개 만든다. 그 n을 무한으로 보내버리면, 직사각형이 아주 작아져서, a에서 b까지의 함수의 넓이를 구할 수 있어진다.
라고 이해를 합니다.
두 번째로, 좌측의 수식은 처음 보는 수식입니다. 여기도 그냥 암기와 이해를 할 수도 있습니다.
암기는 수식 자체를 외워버립니다. 저렇게 표현된다는 것을요.
이해는 어떨까요?
고등학생 왈:Integral 이라는 수식은 sum의 앞글자인 s를 길게 늘인 것이구나. 그래서 저렇게 생겨먹었군. 또한 그 구간은 s를 길게 늘인 것의 아래와 위에 표시하는구나. f(x)는 함수를 뜻하고, dx는 미분에서 본 거랑 비슷하네? 아주 작은 x를 표현하는 것인가 보네.
아하 그러면 f(x)에 dx를 곱한 것, 즉 [f(x)dx=직사각형]을 sum 하라는 거구나. a에서 b까지.
로 이해를 할 수 있습니다
다 이해를 할 수 있습니다.
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여기서부터 제 견해를 피력해 보겠습니다.
과연 다 이해일까요??
Ex.1),Ex.2),Ex.3)은 이해라고 볼 수 있을까요? 제가 이해라고 썼다 해서 이해가 되는 것은 아닙니다.
Ex.3)은 이해인가요? 정의에 나타난 수식들에 의미를 만들어 낸 것은 아닐까요? (의미부여)
Ex.2)는 이해인가요? 뭘 이해한 것이죠? 삼각함수의 덧셈정리가 저렇게 나오는 것이다. 라는 것을 이해한 것인가요?
정리가 나오는 것을 이해했다?
Ex.1)은 제 견해로는 이해라고 봅니다.
여기서 Ex.1,2,3)에서 이해의 공통점은 있습니다.
바로 (자신포함) 남들을 설득할 수 있게 표현하는 것입니다.
중요한 것은 설득 가능하다는 것입니다.
설득당하지 않으셨다면, 이해를 했다고 말할수는 없습니다.
제 생각에 이해라는 것은, 나를 설득 가능하고, 또 이를 남에게 설득 가능하게 설명할 수 있는 표현이라고 봅니다.
저는 이해를 이렇게 정의했습니다.
사실 이해에 대한 정의가 사람마다 다르다 보니, 이야기가 진척되지 않는 거 같습니다. 우선 먼저 확실하게 정의를 내려야 한다고 봅니다.
이해는 뭐라고 생각하시나요?
→(사실 이 글의 메인 주제입니다. ㅠㅠ)
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글은 여기까지입니다. 아랫부분은 +α입니다.
「읽지 않으셔도 괜찮습니다. 생각해 볼 만한 이야깃거리입니다.
Ex.1-1) 고등교과에서 이해 가능한가?, 또한 잘못된 이해가 나올수도 있지 않을까?
반지름 r의 구의 겉넓이는
S＝4πr²
임을 혹시 고등학교과정에서 이해하셨습니까? 암기하셨습니까? 이해하셨다면 어떻게 이해를 하셨습니까?
고등교과 내에서 이해를 시킬 수 있습니까? 즉 설득을 시킬 수 있습니까?
Ex.2-1) 암기와 이해의 구분은 어디에서?
덧셈정리에서 합차를 곱으로, 곱을 합차로 만드는 공식이 있습니다.
식이 8개 나옵니다.
이를 외우는 방법이 있습니다.
1. 그냥 외운다.
이것은 암기한 것이죠.
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2.
신푸신은 두신코
신마신은 두코신
..
..
로 올싼타크로스(1,2,3,4사분면에서 삼각함수의 부호)와 같이 외우는 방법이 있습니다.
이는 이해한 것입니까?
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3.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…③
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…④
에서 ①+②를 통해 sinαcosβ를 유도 가능 즉 곱을 합차로 바꾸는 것을 유도 가능합니다. α+β=A ,α-β=B를 통해 합차를 곱으로 바꿀 수 있습니다.
이런 방법을 통해 외우는 것은 이해한 것입니까?
Ex.3-1) 현재 고등학생에게 주는 질문
정적분의 정의는
입니다.
근데 이 계산 값이 왜 F(b)-F(a)일까요?
(고등학교 설명기준)
미분의 반대는 부정적분입니다. 정적분은 넓이를 구하기 위함입니다. 즉 정적분은 상수입니다. 미분하면 빵이 돼버립니다.(구간이 상수일 때)
근데, 정적분의 넓이를 구하는데, f(x)의 부정적분인 F(x)에 함숫값 b a를 대입한 값을 뺀 값이 어떻게 해서 정적분의 값이 될 수 있을까요?」
여러 의견 부탁드려요!
자신의 의견을 피력해 주시길 바랍니다!!
