1
4차원 다포체()에서 깎은 다면체로 4차원 다포체를 만들 경우 4차원 다포체의 선에서 잃어버린 각도는 점점 증가하는 것을 보였다. 정다면체를 깍는 과정을 무한히 무한이 반복하여 4차원의 잃어버린 각도가 발산한다는 것을 보일 수 있겠지만 좀 더 단순화된 수식으로 이를 증명할 수 있다.

4차원의 잃어버린 각도를 A라 하고 임의의 다면체 혹은 깍은 다면체의 이면각을 cos-1x, 증가하는 4차원 다포체의 선의 수를 E라 하고 선에 접하는 면의 수를 n (= 3, 4, 5)이라 하면
(1) A = E(2π - n cos-1x) 이다.
4차원의 잃어버린 각도가 수렴한다면 E가 무한히 커지는 수에 대해
(2) E(2π - n cos-1x) = k 라 할 수 있으며 k는 임의의 상수이다.
위의 식(2) 양변에 cosine을 취하면
(3) cos(2π - n cos-1x) = cos(k/E)
cosine 각의 합법칙에 의해
(4) cos(2π)cos(n cos-1x) + sin(2π)sin(n cos-1x) = cos(k/E)
cos(2π) = 1, sin(2π) = 0 이므로
(5) cos(n cos-1x) = cos(k/E)
따라서 n cos-1x = k/E 또는 2π - k/E 이며
(6) cos-1x = k/nE 또는 cos-1x = (2π - k/E)/n
따라서
(7) x = cos(k/nE) 또는 x = cos(2π - k/E)/n
E가 무한히 커진다면 k/nE → 0 이므로
(8) x = 1 또는 cos(2π/n) 이다.
위의 x 값은 이면각 비와 일치하지 않으므로 k는 E에 비례하는 임의의 수이어야 한다.
따라서 k는 E가 무한히 증가한다면 발산한다.
2
수학이나 물리학같은 학문 분야에서는 차원을 우리가 사용하는 의미와는 다르게 사용합니다.

차원, dimention 이란 90도 방향으로 존재하는 하나의 축을 의미합니다.

1차원이란 수직선을, 2차원이란 x,y 좌표축을, 3차원이란 x,y,z로 이루어진 공간좌표를 말하겠지요.

우리가 살고 있는 공간이 3차원으로 이루어졌다고 말하는 것은

우리가 살고 있는 이 공간을 x,y,z축으로 이루어진 좌표계 내에서

모두 설명가능하기 때문입니다.

따라서 수학자들에게는 차원이 아무것도 아닌 셈이 되지요.

농담 중에 수학자들은 n 차원에서 살고 있다는 말도 있습니다.

즉, 차원이란 보통 사람들이 생각하듯이 어떤 특수한 "세계" 가 아닌,

그저 시공간(공간+시간)을 구성하고 있는 기준 축들의 갯수일 뿐입니다.

단지 우리가 한번도 3차원 이상의 공간을 본 적이 없기 때문에 머릿속으로 그려볼 수 없을 뿐인 거죠.

우리는 엄밀히 말하면 3차원의 공간 + 1차원의 시간에 살고 있기 때문에

4차원의 "시공간" 에서 살고 있는 것입니다.

11차원 이야기를 말씀하셨는데요, 바로 이 11차원 역시 11개의 좌표축이 각각 90도 각도로 만나는 하나의 시공간을 의미할 뿐입니다.

우리의 인지능력을 뛰어넘는 차원의 한계가 바로 3차원 인데요,

(왜냐하면 우리는 3차원에 살고 있으니까요)

요즘 제창되고 있는 우주론 중 "막우주론" 에서는 우리가 11차원의 얇은 막이 둘둘 말려서 주변에 있고 

중심부에는 4차원의 일종의 "구" 같은 공간으로 되어있는 것이

우리의 우주라고 이야기 하고 있습니다.

즉, 이 세상은 우리가 알고 있는 단순한 3차원의 공간과 1차원의 시간을 뛰어넘는

아주 복잡하고 미묘한 세계라는 것이지요.

어쨌든, 앞으로 차원 이야기가 다른 곳에서 또 나온다 하더라도

그 차원이 단순히 수학적으로 봤을 때 별것 아닌 그저 하나의 좌표축들일 뿐이라고 생각하시면 됩니다.

일반 사람들이 수학적 개념을 오해하고 사용하는 것 중에 하나가 바로 이 차원 개념인데요,

앞으로는 혼동하지 마세요^ㅡ^ 
근데 이거 대로라면 우리는 4차원에 살고 있다는거? 저는 예전에 이런글 올렸는적이 있는데 뭐라 해주셧는데 기억이 안나서리
좀 부탁드립니다