-러셀의 역리-

어느마을에 오직 한명의 이발사가 있습니다. 이 이발사는 괴상해서 모든 스스로 이발하지 않는 사람들만을 이발해주기로 맹세했습니다. 어느날 자신의 머리가 너무 길어서 이발을 해야겠다고 생각했습니다. 이발사는 스스로 머리를 깍아야할까요???

스스로 머리를 깍자니 자신의 맹세에 어긋나고(자기자신이 스스로 이발하는 사람이 되므로), 머리를 깍지않아도 스스로 이발을하지 않는 사람을 이발해준다는 맹세에 어긋납니다.

결국 자신의 맹세가 잘못된것입니다.

(위의 이야기는 러셀이 러셀의 역리를 설명할때 만든이야기를 조금 각색한겁니다ㅎㅎ)

논리학에서 역리(역설, paradox)란 언듯보면 일리가 있어보이지만 모순을 내포하거나 잘못된 결론에 이르게하는 논증을 말합니다.

그렇다면 러셀의 역리란 무엇일까요?

러셀의 역리를 알아보기 전에 먼저 칸토어와 집합론에 대해 알아보겠습니다.

게오르그 칸토어는 초한수를 연구하며 집합론을 창시 하였습니다. 칸토어 이전에도 집합에 대한 개념이 없던것은 아니지만 칸토어 이후에야 집합을 체계화 하였고 무한집합을 구분할수 있게 되었습니다. 이때 칸토어가 만든 집합론이 소박한 집합론(naive set theory)입니다(러셀의 역리를 비롯한 역리들을 가지고 있어서 이렇게 부릅니다).

해석학 연구를 위해 만들어진 집합론은 처음에 무한개념에 익숙치 못했던 학자들에게 외면을당했으나 점차 집합이론으로 인식되면서 수학의 각 영역에서 중요한 위치를 차지하게 되었습니다. 그에따라 여러 역리들이 나타났지만 수학자들은 모순의 원인을연구하며 적당한 형식주의를 도입함으로써 역리를 벗어날수 있음을알게 되었습니다.

칸토어는 집합론을 구성하며 전체집합의 개념을 사용하였는데 러셀은 이 부분에 의문을가지고 다음 역리를 제시 하였습니다.


Theorem. 모든집합의 집합(즉, 전체집합)은 존재하지 않는다.

proof.
모든 집합의 집합 U가 존재한다고 가정하자.
이때
R={A∈U|A∉A }
는 하나의 집합이 된다.
만일 R∈R이라고 가정하면 R의 정의에 의하여 R∉R 이다. 이는 R∈R이라는 가정에 모순이므로 R∉R이다.
또 R∉R이라 가정하면 R의 정의에 의하여 R∈R 이다. 이것은 역시 R∉R에 모순되므로 R∈R이다.
결국 모든집합의 집합U가 존재하려면 R∈R과 R∉R를 동시에 성립해야한다. 이는 모순이므로 모든 집합의 집합U는 존재하지 않는다.



러셀의 역리는 다른 수학자들이 제시한 역설과 다르게 매우 간단명료하여 심각한 위기로 받아들여 졌습니다. 하지만 절대적 의미의 전체집합이 문제가 된 것으로 실제로 우리가 취급하는 집합이론이나 일반수학에서 전체집합이 꼭 필요한 것은 아니며 이를 배제하여도 아무런 문제가 없습니다. 다만 우리가 관념적으로 생각하는 범위(실수집합, 복소수집합,...등 수학의 기본대상과 수학적 조작에 의해 새로 만들어지는 집합)를 전체집합으로 보면 역리가 발생하지 않습니다.

이러한 역리들을 타파하기위해 기하학처럼 집합론에도 여러 공리들이 만들어 졌습니다. 대표적인 공리계가 ZF공리계 입니다.

1908년 체르멜로(Zermelo)가 제안한 공리계로 1922년 스콜렘(Skolem)과 프렌겔(Fraenkel)이 보완하여 Zermelo-Fraenkel axiomatic system이라 불리우며 현대 수학의 기초를 이루고 있습니다.

[ZF 공리계]
1. 외연공리: 두집합의 원소가 모두 같으면 두 집합은 같다.
2. 공집합의 공리: 원소를 하나도 갖지 않는 집합이 존재한다.
3. 켤레공리: A와 B가 집합이면 {A,B}도 집합이다.
4. 합집합의 공리: F가 집합족이면 ∪ F도 집합이다.
5. 멱의 공리: A가 집합이면 P(A)도 집합이다.
6. 분류공리: A가 집합이고 p(x)가 명제함수이면 p(x)가 참이 되는 A의 원소 x를 모은 집합{x∈A| p(x) }가 존재한다.
7. 무한공리: 무한집합이 존재한다.
8. 정칙성의 공리: 공집합이 아닌 집합 X는 X와 서로소인 원소를 포함한다.

여기서 선택공리를 추가하면 ZFC공리계가 되며 선택공리는 다음과 같습니다.

9. 선택공리: 공집합이 아닌 모든집합은 선택함수를 갖는다.

선택공리의 동치명제로는 Zorn's lemma와 Well-ordering principle가 있습니다. 나중에 기회가 되면 이에 대해 알아보겠습니다!


[한줄요약: 모든 집합의 집합은 존재하지 않는다.]