사실 수학 문제는 생각 안 하고 그냥 수식에다 때려박으면 이해는 못 했는데 답 나오는 게 많죠.
몬티홀 문제를 이렇게 풀어봅시다.
물론 이해는 해야 합니다
먼저 참가자가 처음에 문 1을 고르고, 사회자가 보여준 염소가 든 문을 문 3이라고 합시다. 그리고 나머지 하나는 문 2입니다.
그래서 처음 선택한 문 1를 바꾸지 않는 것과 문 2으로 바꾸는 것 중 어느 쪽이 자동차를 얻을 확률이 크냐는 것이죠.
자동차가 문 1, 문 2, 문 3에 있는 사건을 각각 E1, E2, E3라고 합시다. 또 사회자가 문 3을 여는 사건을 A라 합시다.
먼저 문 1을 그대로 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은 "사건 A가 일어났을 때 사건 E1이 일어날 확률"이므로
P(E1|A) = P(A|E1) * P(E1) / P(A)
일단 여기서 P(A|E1)은 "사건 E1이 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률"이니까 1/2입니다(사회자는 문 2 아니면 문 3을 열어줬을테니까). 그리고 P(E1)은 당연히 1/3이죠. P(A)는 조금 복잡한데, 다음과 같이 구하면 됩니다.
P(A) = P(A∩E1) + P(A∩E2) + P(A∩E3)
= P(A|E1) * P(E1) + P(A|E2) * P(E2) + P(A|E3) * P(E3)
P(A|E1), P(E1)은 앞에서 계산했고, P(E2), P(E3)는 역시 1/3입니다. P(A|E2)의 경우 참가자가 문 1을 고르고 자동차가 문 2에 있다면 당연히 사회자는 문 3을 열어줘야 하므로 1입니다. P(A|E3)는 자동차가 문 3에 있는데(사건 E3) 사회자가 문 3을 열어주진(사건 A) 않으므로 0입니다. 따라서 계산하면
P(A) = 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3 = 1/2
P(E1|A) = (1/2) × (1/3) ÷ (1/2) = 1/3
같은 방법으로 문 2로 선택을 바꿨을 때 자동차에 당첨될 확률은
P(E2|A) = P(A|E2) * P(E2) / P(A) = 1 × (1/3) ÷ (1/2) = 2/3
그러므로 문을 바꾸는 쪽이 유리합니다.
이제 문제를 확장시켜 문이 3개가 아니라 n개라 해봅시다. 또한 참가자가 문 1을 골랐고, 염소가 들어있는 문 n-k+1, n-k+2, …, n(총 k개)을 사회자가 보여주었다고 합시다. 참가자 입장에서 다른 문으로 바꾸는 것이 유리할까요, 바꾸지 않는 것이 유리할까요?
일단 자동차가 문 1, 2, 3, …, n에 들어있는 사건을 각각 E1, E2, E3, …, En이라 하고, 사회자가 위에서 말한 문 k개를 여는 사건을 A라 합시다. 그러면 먼저 P(A)는
P(A) = P(A|E1) * P(E1) + P(A|E2) * P(E2) + P(A|E3) * P(E3) + … + P(A|En) * P(En)
= 1/n * 1/n-1Ck + 1/n * 1/n-2Ck * (n-k-1)
= (n-k-1)!k!/(n-1)!
문 1을 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은
P(E1|A) = P(A|E1) * P(E1) / P(A)
= (1/n-1Ck) × (1/n) ÷ {(n-k-1)!k!/(n-1)!}
= 1/n
다른 문을 선택했을 때 자동차에 당첨될 확률은 어차피 다 같을테니 문 2를 선택한 경우만 따지면
P(E2|A) = P(A|E2) * P(E2) / P(A)
= (1/n-2Ck) × (1/n) ÷ {(n-k-1)!k!/(n-1)!}
= (n-1)/{n(n-k-1)}
따라서 이 경우에도 바꾸는 쪽이 더 유리합니다.
