학부 과정의 수학을 공부하는 사람들이 가장 힘들어하는 점은 어떤 순서로 수학을 공부해야 하는 지 모른다는 것이다. 중학교나 고등학교의 수학은 이름 자체가 수학 9, 수학 10, 수학 I, 수학 II 등으로 되어 있기 때문에 순서대로만 공부하면 된다. 그러나 대학의 수학은 각 분야로 나뉘기 때문에 그 순서를 가늠하기가 쉽지 않다.
일반적으로 대학의 수학 관련 과에서 공부하게 되는 과목은 다음과 같은 것들이 있다.
집합론, 미분적분학, 실해석학, 복소해석학, (수치해석학), 선형대수학, 정수론, 추상대수학, 위상수학, 논증 기하학, 미분기하학, 미분방정식, 이산수학, 통계학, (암호학) 등.
집합론은 모든 과목의 기초가 된다. 19세기 말 칸토르가 (무한) 집합론을 창조한 이후로 수학의 모든 시스템은 집합으로 표현되기 때문에다.
미분적분학은 고등학교의 내용에 비해서 조금 더 연역적이다. 또한 다변수 함수에 대한 미분과 적분도 다룬다. 미분방정식은 미분연산자로 정의된 방정식을 푸는 방법을 공부하는 과목이다. 미분적분학의 내용을 더욱 논리적으로 공부하는 과목이 해석학이라고 생각하면 된다. 특히 실해석은 실변수함수의 해석을 다루며 복소해석은 복소변수 함수의 해석을 다룬다. 예전에는 학부 수준에서 르벡적분과 측도론까지 다루었으나 지금은 거의 다루지 않는다. 위상수학은 다양한 집합상에서 극한을 다룰 수 있도록 추상화시킨 공간을 다룬다.
선형대수학은 벡터공간과 그 위에서 정의되는 특별한 함수인 선형사상에 대하여 공부하는 과목이다. 선형사상은 행렬로 표현되므로 행렬의 성질을 많이 공부하게 된다. 정수론은 정수에 관련된 연산, 수의 확장, 방정식 이론 등을 공부하는 과목이다. 추상대수학에서는 수의 연산 체계를 추상화시켜서 시스템을 구성하며 그러한 시스템에서 추상화된 방정식을 다루게 된다.
논증 기하학은 공리로 이루어진 논리 체계에서의 추론 방법을 공부하는 과목이다. 미분기하학은 논증 기하학과는 달리 미분과 적분을 이용하여 곡선과 곡면의 성질을 규명하는 방법을 공부하는 과목이다.
이산수학에서는 실생활에서 접하는 이산적인 문제를 많이 다룬다. 이를테면 가장 빠르게 접근하는 경로를 구하거나 효율적으로 경기가 이루어지도록 팀을 짜는 것이 이산수학에서 다루는 내용이다.
통계학에서는 고등학교에서 공부하는 통계와 거의 비슷한 내용을 공부하게 된다. 단, 여러 개의 변량을 동시에 다루는 방법과 통계적 검증을 추가로 공부하게 된다.
이상의 내용을 바탕으로 생각해보면 다음과 같은 순서로 공부해야 됨을 알 수 있다. 물론 이것은 내 개인적인 의견이 많이 반영되어 있다.
- 논증기하학은 해석학의 공리를 이해하는 데에 도움이 된다. 특히 데데킨트 정리나 완비성 공리를 이해하는 데에 도움이 된다. 하지만 굳이 논증기하학을 공부하지 않아도 해석학을 공부할 수는 있다.
- 미분적분학을 공부한 뒤 곧바로 미분방정식을 공부할 수도 있으나, 그 경우 (푸리에 급수나 라플라스 변환까지) 깊이 공부하지는 못한다.
- 정수론을 공부하지 않고 곧바로 추상대수학을 공부할 수도 있으나, 정수론을 먼저 공부하는 편이 훨씬 부드럽다.
- 실해석학을 한 학기 정도 공부한 뒤에 실해석 뒷부분과 복소해석을 함께 공부하면 좋다.
- 선형대수학은 다변수 해석을 공부하는 데에 도움이 된다. 그러나 미적분을 충실히 공부했다면 굳이 선형대수학을 공부하지 않아도 학부 수준의 해석학을 공부하는 데는 큰 무리가 없다.
이상의 내용을 참고로 하여 공부하기 바란다. 특히 수학을 복수전공하거나 교육대학원에서 수학을 공부하는 경우, 수학 전공의 과 홈페이지에 들어가서 교육과정이 어떠한 순서로 구성되어 있는지 확인해보면 큰 도움이 될 것이다.
http://www.designerellis.com/지금까지 네 권의 "수학 이야기" 시리즈를 공개했습니다. 책의 번호는 홀수로만 매겨집니다. 또한 각 책의 영문 이름은 MathematicScript
*A, C, E, 7 입니다. 책 제목을 클릭하면 해당 게시물로 이동합니다.
수학 10-가/나 교과서 :: 첫 번째 이야기, 1판수학 7단계에서 10단계까지의 내용을 요약정리한 것입니다. 원래 개인적으로 사용할 목적으로 만들었으나 여러 사람의 요청으로 공개하게 되었습니다. 연습문제의 답은 없습니다.
집합론의 직관적 접근과 공리적 이론 :: 세 번째 이야기, 1.2판집합론의 내용을 한편으로는 직관적으로 접근하고 한편으로는 공리적으로 접근하는 책입니다. 연습문제의 답은 없습니다.
맛있는 해석학 :: 다섯 번째 이야기, 3판일변수 실해석의 기초적인 내용을 상세하게 설명한 책입니다. 해석학을 처음 공부하는 사람이 보기에 좋은 책입니다. 연습문제의 답과 힌트가 포함되어 있습니다.
실해석과 복소해석에 관한 기초 이론 :: 일곱 번째 이야기, 2.1판기초실해석과 복소해석을 통합적으로 다룬 책입니다. 해석학을 공부한 경험이 있는 사람이 보기에 좋은 책입니다. 모든 연습문제의 풀이가 포함되어 있습니다. 2판에는 거리공간, 노름선형공간, 다변수 복소해석 등의 내용이 첨가되었습니다. 이 내용은 주로 석사 과정에서 배우지만 이 책에서는 학부수준에 맞게 간단하게 소개하였습니다.
수학 이야기 시리즈 외에도 다음과 같은 수학 자료가 있습니다.
전공수학 내용정리 & 문제풀이교원임용고사를 대비하여 학습을 마무리하며 참고하는 자료입니다. 실제로 제가 학부 4학년때 임용고사 준비를 하면서 작성한 노트입니다.
다변수 복소해석에 관한 기초 이론이 자료는 제가 다변수 복소해석학을 공부하면서 정리한 노트입니다. Sheidemann, V의 Introduction to Complex Analysis in Several Variables와 Steven, G, Krantz의 Function Theory of Several Complex Variables를 주로 참고하여 작성하였습니다.
