아래 
카드뽑기게임 있죠??

이 카드 뽑기게임에서 

확률은 

이미 한장을 뽑아서 가려놓은상황에서 

나중에 뽑은 카드가 무엇인가에따라 

이미 먼저 뽑아서 가려놨던 카드의 확률에 영향을 주느냐 ? 마느냐?
하는것이 관건 이죠??

영향을 주지않는다면 1/4가 맞고 
영향을 준다면 10/49가 맞습니다 

그럼 과연 영향을 줄까요? 안줄까요??
영향을 줄 수 있는 경우는 어떤것이 있을까요??

몬티홀 문제는 
처음 고른 문에 자동차가 있을 확률은 1/3
남아있는 문에 자동차가 있을 확률은 2/3입니다 

이것은 
처음 고른 문이 아닌 
나머지 두 문중에 자동차가 있을 확률이 2/3인데 
이중 답을 알 고 있는 사회자가 둘중에 
확실하게 염소가 없는 문을 없애버리면서 
나머지하나의 문에 자동차가 있을 확률이 2/3이 됩니다 
사회자가 문을 열기전까지는 1/3로 같지요 

문을 여는순간 전환점이 되어서 확률이 2/3으로 올라갑니다 

하지만 처음 내가 고른 문은 전혀 영향을 미치지않습니다 

왜냐 
사회자가 문을 여는 사건에서 
내가 처음 고른 문은 기본적으로 제외하고 나머지 두 문중 하나를 열기때문이죠??
그래서 
처음 고른 문은 확률이 변하지않고 1/3으로 유지되고 
남아있는 하나의 문이 2/3이 됩니다 

여기까지는 맞죠???

그렇다면 
사회자가  어디에 자동차가 있는 지 모르는데 
우연히 나머지 둘중하나의 문을 열었는데 염소였다 

이럴때는 어떻게 될까요??

저는 이때도 마찬가지로 
우연히 열었다고 해도 
그 결과가 꽝이라면 

바꾸는게 유리하다고 생각합니다 

왜냐하면 

사회자가 문을 열때 
나머지 두 문중 하나를 열기때문이죠 

물론 문을 열었을때 자동차가 나올 수 있지만 
이경우가 아니라 
염소가 나왔습니다 

그렇다면 남아있는 문 뒤에 있을 확률이 2/3이죠 


그렇다며 ㄴ

카드문제는 어떤가요??

한장을 뽑아놓고 
그 한장은 뽑은 대상에서 제외하고 
나머지 카드중에 3장을 뽑습니다 

나머지 카드중에 또 다이아가 뽑을 확률이 나려가는것이고 
이미 뽑은 카드가 다이아일 확률은 변하지않습니다 
1/4입니다 

이게 어제 퇴근하고 혼자 생각한 결론입니다 

그럼 
이해하기쉽게 

이게임을 100번 한다고 해봅시다 
모든 확률을 따져보겠어요 

모든경우의 수는 
문제의 카드가 다이아 뽑은카드3장이 다이아
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 2장이 다이아 
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 1장이 다이아
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 0장이 다이아
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 3장이 다이아
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 2장이 다이아
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 1장이 다이아
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 0장이 다이아

이게 모든 경우의 수입니다 
물론 2장이 다이아인경우에서 
1번째2번째가 다이아 
1번째 3번째가 다이아
2번째 3번째 다이아 
같이 나눠지지만 일단 묶어서 말합니다 

이게 모든경우의 수입ㄴ디ㅏ 

근데 문제는 뭘까요??

이미 3장이 다이아가 나왔을떄 남은 카드가 다이아일 확률을 구하느것입니다
그렇다면 
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 3장이 다이아
문제의 카드가 다이아 뽑은카드3장이 다이아

이 두개의 경우끼리만 따져야하는것입니다 
다이아가 2장일경우 1장일경우 따위는 제외됩니다 
이미 '3장이 다이아가 나왔을떄'어떻게 되느냐를 따져야합니다 
계산해보면 당연히 1/4가 나오겠지만 그래도 계산해봅시다 




100번 게임을 합니다 

아주 큰 테이블에 카드가 100덱이 있습니다 
이중에서 
각각의 덱에서 카드 한장을 뺍니다 
이게 문제의 카드

100장의 카드는 보지않고 덥어놓습니다 
당연히 확률상으로 25장은 다이아입니다 

문제의 카드가 다이아 뽑은카드3장이 다이아
의경우를 계산해볼게요 
나중에 다 합쳐서 확률이 1이 나와야하니까
계산하기쉽게 약분은 안합니다

13/52 * 12/51 * 11/50 * 10/49
제일처음 뽑은카드가 다이아일결우는 13/52
나머지카드중에 1번째 카드가 다이아일 확률은 12/51
나머지카드중에 2번쨰 카드가 다이아일 확률은 11/50
나머지카드중에 3번쨰 카드가 다이아일 확률을 10/49

계산기로 했더니 17160/6497400입니다 

다음 
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 2장이 다이아 
전 멍청하니까 
1번쨰가 다이아 아닐 확률과 
2번째가 다이아가 아니 ㄹ확률과 
3번째가 다이아가 아닐 확률이 같겠지만 따로 구해서 더하겠스빈다 

13/52 * 12/51 * 39/50 * 11/49 = 66924/6479400
13/52 * 39/51 * 12/50 * 11/49 = 66924/6479400
13/52 * 12/51 * 11/50 * 39/49 = 66924/6479400
다더하면 200772/6479400
당연하지만 3번연속 다이아가 나올확률보다 
1번은 다른카드가 나올 확률이 10배이상 높네요 

계속합니다 
이번에는 
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 1장이 다이아
입니다 
마찬가지로 
3번째만 다이아일 확률
2번째만 다이아이 ㄹ확류ㅜㄹ
1번째만 다이이일 확률을 따ㅗㄹ 합니다 

13/52 * 39/51 * 38/50 * 12/49=  231192/6479400
13/52 * 39/51 * 12/50 * 38/49=  231192/6479400
13/52 * 12/51 * 39/50 * 38/49=  231192/6479400
693576/6479400

자 다음은
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 0장이 다이아
이제 슬슬 짜증이 나고 
3장이 다이아가 아닐 경우는 따지지않아도 되지만 
그래도 누군가 태클걸까봐 다 풀어봅니다 

13/52 * 39/51 * 38/50 * 37/49= 712842/6479400
입니다 

다음은 
문제의 카드가 다이아 '아니면서' 뽑은 카드중 3장이 다이아

39/52 * 13/51 * 12/50 * 11/49= 66924/6479400

다음은 
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 2장이 다이아
이쯤되면 하나씩 안써도 되겠죠??
그냥 식만 쓸게요 

39/52 * 13/51 * 12/50 * 38/49 * 3 = 693576/6479400


다음은 
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 1장이 다이아

39/52 * 38/51 * 37/50 * 13/49 * 3 = 2138526/6479400


다음은 
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 0장이 다이아

39/52 * 38/51 * 37/50 * 36/49 = 1974024/6479400



모든경우의 수를 다시 정리해볼게요
문제의 카드가 다이아 뽑은카드3장이 다이아                 17160/6497400
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 2장이 다이아            200772/6479400
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 1장이 다이아            693576/6479400
문제의 카드가 다이아 뽑은 카드중 0장이 다이아            712842/6479400
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 3장이 다이아    66924/6479400
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 2장이 다이아   693576/6479400
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 1장이 다이아  2138526/6479400
문제의 카드가 다이아 아니면서 뽑은 카드중 0장이 다이아  1974024/6479400

에효 귀찮지만 
다 더해보니까 
6479400/6479400
즉 1의 확률이 나오네요 
이게 모든 경우의 수입니다 

그럼 본격적으로 문제를 볼게요 
한장 뽑고 나머지 카드가 3장모두 다이이알떄 
처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은?
영향을 주고 자시고 노가다로 모든 경우의 수를 따져서 계산해보면 
위에 확률을 이용하면 
전체 경우는 
3장모두 다이아이고 처음 카드가 
다이아일때와 아닐떄 두가지입니다 
3장모두 다이아가 뽑힌것은 이미 일어난 사건 
3장모두 다이아가 아닐 경우는 따질게 아니죠 
즉 확률은
17160/17160+66924가 나옵니다 
으잌ㅋㅋㅋㅋㅋ

계산해보니까 
약 0.20407435156445가 나오네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 이상한게 
10/49는 약0.20408163265306인데 

10/49와는 약 0.00000728108861차이가 나네요 

결국은 제가 틀렸네요 

1/4가 아니라 
10/49에 가까움 
정확히따지자면 10/49하고도 약간 오차가 있음 









PS
풀이 방법에 의문을 가지는 분들 계실건데 

확률을 구하려는 가장 복잡하지만 간단한 방법이 

모든경우의 수를 구해놓고 
그중에 상황에 맞는 것을 골라보는겁니다 

예를들면 

동전을 10개 던졌는데 
9개가 모두 앞면이 나왔을떄 
마지막 동전이 앞면 나올확률은??

이걸구할떄 답부터 말하자면 1/2입니다 

이 문제는 10개를 던져서 10개모두 앞면이 나올 확률을 구하는 문제가 아닙ㄴ디ㅏ 
이문제는 이미 9개는 앞면이 나왔고
마지막 동전이 앞면 나올 확률을 구하는겁니다 

이떄 원래 구하는 방법은 

(이미 9개가 앞면이 나왔고 10번째가앞면일 확률)
------------------------------------------------------------
(이미 9개가 앞면이 나왔고 10번째가 나올수 있는 모든 경우의수)

입니다 ↑이거는 분수로 봐주세요

즉 1/2이지요 

ps2

이말은 
카드 문제역시 
(나중에뽑은 카드 3장모두 다이아일떄 처음 뽑은 카드가 다이아)
-----------------------------------------------------------------
(나중에뽑은 카드 3장모두 다이아일떄 처음 뽑은 카드의 모든경우의수)
이지요 
즉
처음뽑은 카드가 다이아이고 나중에 뽑은 3장모두 다이아일경우와 
처음뽑은 카드가 다이아 아니고 나중에 뽑은 3장모두 다이아일 경우  
를 따지는겁니다 

당연히 1/4가 나올줄알았는데 
해보니까 10/49가 맞네요 
어제는 1/4가 맞다고 우겼는데 ㅋㅋㅋ 
이글을 쓰면서도 1/4가 맞다고 생각했는데 
답이 10/49가 맞네요 우겨서 ㅈㅅ