이 내용은 고등학교 수학1에 등장하는 행렬에 대한 지식을 가지과 현재 문과에서 배우는 정도의 미적분 지식이 있으면 이해하실 수 있을 것입니다.
중력을 설명하는 일반상대성 이론에서 어떻게 시간과 공간이 서로 관여하게 되는지 간략하게 설명드리겠습니다.
중학교 3학년 때 배우는 피타고라스 정리가 있죠. a^2 + b^2 = c^2이라는 직각삼각형에서 성립하는 공식입니다.
이것을 3차원 공간(유클리드 공간)으로 가지고 가면 두 지점사이의 거리를 정의할 때 사용할 수 있죠.
그리고 그것은 회전이나 평행이동에 대해 불변의 양입니다. 유클리드 공간에서는 거리^2인 (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 이 불변하는 양이지요.
이것은 특수상대성 이론이 등장하기전 모든 물리학에서 사용되던 중요한 정리입니다.
벡터라는 물리량을 정의할 때에도 그 길이가 좌표계의 회전이나 평행이동에 대해 불변해야 한다는 조건을 주게 되지요.
1줄요약 : 유클리드 공간에서는 피타고라스 정리에 의해 정의되는 "거리" 라는 양이 불변의 양이다.
특수상대성 이론으로 들어서게 되면 이 "거리"라는 양이 불변이 아니게 됩니다. 길이 수축과 시간지연에 대해서 많이 들어보셨을 겁니다.
시간에 대한 거리의 변화량, 즉 속도의 크기에 대한 제한을 도입하게 되면서 (광속 c가 상한이지요) 거리는 더이상 불변하지 않게 됩니다.
이것을 유도하는 것은 이미 많이 알려져 있는 사실이기도 하니 생략하구요, 결론만 가져오겠습니다.
특수상대론적, 다시 말해서 광속에 비해 크게 차이가 나지 않는 속력으로 등속운동하는 물리계들 사이에서는 "거리"라는 양이 불변이 아니라 시간의 변화량 까지 도입한 (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2+(dz)^2 - (c dt)^2 이 됩니다. 여기서 c는 물론 광속을 의미합니다.
유클리드 공간에서는 "거리^2"가 항상 양수이지만, 보실 수 있듯이 특수상대론의 불변량은 음수가 될 수도 있습니다. 따라서 개인의 편리에 따라 (ds)^2의 부호를 바꿔서 적어도 문제가 없습니다. 불변의 양을 보면서 알 수 있는 것은 시간과 공간이 서로에게 영향을 받고 있다는 것이죠.
(그리고 그 서로에 대한 영향은 광속으로 속력의 상한을 주면서 시작되는 것입니다.)
1줄요약 : 특수상대론의 시공간에서는 불변하는 양이 "거리"가 아니라 (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2+(dz)^2 - (c dt)^2 라는 양이다.
그렇다면 이 우주는 이런것에 대하여 어떻게 반응할까요? 뉴턴 이후부터 왜 F=ma를 따르는지에 대해 이해하기 위한 노력들이 있어왔습니다.
그러한 시도들 중에서 가장 성공한 것이 우주는 가장 합리적인 길을 선택한다는 이론입니다. 바로 라그랑지안이죠.
상당히 와닿지 않는 말이지만, 간단한 예를 들어 생각해 봅시다.
유클리드 공간에서 두 지점사이를 이동할 때 무엇이 가장 합리적인 방향일까요? 그 두 지점을 잇는 직선을 따라가는 것이겠지요.
공간상에 찍히는 좌표 (x, y, z)를 시간 t의 함수로 나타낸다면 어떻게 될까요?
( x(t) , y(t), z(t) ) 로 말이지요. 간단하게 벡터 r(t)라고 표시해 봅시다. 어떻게 직선을 표현할 수 있을가요?
여러가지 방법이 있겠지만 시간에 대해 r을 두번 미분한 양인 r(t)" = 0 이라고 하면 됩니다. 즉 가속도 = 0 이라고 하면 직선을 따라가게 되는 것이죠.
(직선의 방정식을 변수 t로 매개한다고 생각하시면 이해하기 편합니다.)
외부의 아무런 작용이 없을 때, 유클리드 공간에서 가장 합리적인 운동은 가속도가 = 0 인, 힘을 받지 않는, 직선운동이 되는 것입니다.
이것은 특수상대론의 공간에서도 변함이 없습니다. 시공간에서 가장 합리적인 이동방법 역시 두 지점을 잇는 직선방향으로 이동하는 것입니다.
이렇게 두 지점을 잇는 가장 합리적인 방법을 찾는 것을 geodesic을 구한다고 말합니다. 물리학과 학생들이 geodesic에 대해 배울때에는 최단거리로 간답시고 계단도 대각선으로 내려가곤 합니다.
1줄 요약 : 유클리드 공간과 특수상대론 시공간에서 가장 합리적인 이동방식은 두 지점을 잇는 직선을 따라 이동하는 것이다. 이것을 'geodesic을 따라간다'고 한다.
마지막 부분입니다. 글도 길어지고 어려운 감도 있지만 조금더 힘을 내어 보시길 바랍니다.
1*3 행렬이나 3*1 행렬은 유클리드 공간상의 벡터들과 일대일 대응이 가능합니다. 따라서 행렬은 벡터를 공부할 때 많이 사용하는 도구지요.
유클리드 공간의 불변의 양에 대해 다시 한번 떠올려 보겠습니다. (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 이었지요? 이것을 행렬로 나타내어 보겠습니다.
가 되지요. 특수상대론 시공간에서는 어떻게 될까요?
가 됩니다. 여기에 등장하는 3*3 과 4*4 행렬들은 공간의 metric이라고 부릅니다. "거리"라는 양을 정의해 주는 정사각 행렬들이지요.
일반상대성 이론에서는 이 metric 행렬의 각 성분에 실수가 들어가는 것이 아니라 함수가 자리하게 됩니다. 이렇게 말이지요.
보고만 있어도 마음이 복잡해 집니다. 이렇게 metric이 복잡한 함수의 꼴을 가지게 되면 가장 합리적인 이동방법인 geodesic을 구할 때 직선이 아닌 다른 결과가 나오게 됩니다.
이러한 metric과 geodesic에 대한 이론은 아인슈타인이 만든 것이 아니구요, 일반상대성 이론을 집필하기 이전에 "리만"이라는 수학자에 의해 알려져 있던 사실입니다. 아인슈타인은 이것을 중력에 가져와 쓸 수 있을 것이라는 아이디어가 있었던 것이죠.
결론적으로 geodesic이 직선이 아니라는 말은, 어떠한 힘을 받는 것처럼 시공간을 이동하는 것이 가장 합리적인 이동방법이라는 의미가 됩니다. 아이슈타인은 그 어떤 힘을 중력이라고 생각했지요. 그리고 그 아이디어는 매우 정확했습니다. 현재 스마트폰의 GPS기능에는 일반상대성 이론이 사용되어 길을 찾을 수 있을 정도의 정확도를 제공하지요. 일반상대성 이론에 대한 지식이 없었다면 수 km이상의 오차가 있을 수 밖에 없습니다.
1줄 요약 : 일반상대성 이론에서는 metric이 복잡한 함수의 꼴이고, 그 영향으로 geodesic이 직선이 아니라 힘을 받는 궤적이 된다. 일반상대성 이론에서는 그 힘을 중력이라고 생각한다. 그리고 그 주장은 타당하다고 현재까지는 밝혀져있다.
따라서 시간이 느리게 간다거나 빠르게 가는 것은 단순히 중력의 세기에 의존하는 것이 아닙니다. metric함수의 꼴이 어떠한가에 영향을 받는 것이지요. 중력의 크기에 의해 영향을 받는다면 지구 중력의 1/6에 해당하는 달에서는 시간이 아주 이상하게 가야 하지요.
metric이 얼마나 이상한 모양인가, 시공간이 얼마나 이상하게 서로 관여하고 있는가, 그것이 중력에 의한 시간지연에 관여하는 바 입니다.
마무리 : 단순히 중력의 세기가 아니라 metric의 모양이 시공간 상호간의 영향과 중력에 의한 시간지연에 관여한다.
이제 왜 인터스텔라의 파도행성에서 시간지연을 사람이 걸어다닐 수 있는 중력에도 불과하고 주장할 수 있었는지 이해가 되시리라 생각합니다.
