6. 공식(*)은  가 짝수인 피타고라스의 원시해를 정의하기 위한 필요충분조건은 와 가 공통인수를 갖지 않고 서로 다른 홀짝성를 갖는것을 증명하여라. (힌트: 와 에 대한 제한을 가정하고 소수 가 를 나눈다면,  는 홀수이어야 하고 와 을 나누게 되고, 따라서 ,을 나누고 결국 를 나눈다는 것을 보인다. 역으로 만약 가 같은 홀짝성를 갖는다면, 2가 를 나누고, 게다가 소수 가  을 나누므로, 소수 가 또한 를 나눈다는 것을 보인다.)

 s와 t가 서로 다른 홀짝성을 가지는 것을 증명하기 위해
s와 t가 모두 홀수인 경우, 짝수인 경우의 모순을 증명하겠다.

1) s와 t가 모두 홀수인 경우
(a,b,c)는 피타고라스의 삼중수 중에서도 원시해이다.
a는 짝수, b는 홀수라 가정. (b=m+1) m은 짝수

c^2=a^2+m^2+2m+1
c^2이 홀수라면 c역시도 홀수이다.
또한 (b,c)=1                          ※  (a,b)=z일 때 z는 a와b의 최대 공약수

(∵a는 짝수, b는 홀수)

만약 c가 홀수가 아니라면
(a,b)=n (n≠1,n은 양의 정수) 이고  c=nc′      b=nb′ 표현할 수 있다.
 (c′ 과 b′은 최대공약수 n으로 c와 b를 각각 나눴을 때의 몫이다. )
(nc′)^2-(nb′)^2=c^2-b^
n^2c′^2-n^2b′^2=c^2-b^
n^2(c′-b′)=c^2-b^
위의 과정을 통해서 알 수 있듯이
c^2-b^2이 n^2으로 나누어떨어지게 된다.

따라서 a는 n으로 나누어진다. 가정 (a,b)=1에 대해 모순이다.

b와 c가 위의 증명을 통해 둘 다 홀수임을 알게 되었다.

b와 c가 둘 다 홀수이므로 1/2(c-b)와 1/2(c+b)는 양의 정수이다.
(짝수-짝수=짝수, 따라서 짝수를 2로 나누면 홀수이며 양의 정수)
(짝수+짝수=짝수, 따라서 짝수를 2로 나누면 홀수이며 양의 정수)

 1/2(c-b)=s^2           1/2(c+b)=t^2 (탐구과제 7번 풀이의 연립방정식 참고)
t>s>0이다. 
여기서 (s,t)=1임을 증명해보겠다.
어떤 양의 정수 k≠1은 (s,t)=k이다. 

따라서
어떤 양의 정수 s′, t′를 사용해 s=ks′ t=kt′로 표현할 수 있다.
(s′ 과 t′은 최대공약수 k로 s와 t를 각각 나눴을 때의 몫이다. )
이것은 (s^2,t^2)≠1를 나타내지만 모순이다. 
(∵ 1/2(c-b)=s^2, 1/2(c+b)=t^2 은 홀수이다. (s^2,t^2)≠1라는 말은 (s^2,t^2)=2도 포함하기 때문이다. )
(s,t)=1이므로 s,t는 둘 다 짝수일 수 없다. 그리고 둘 다 홀수일 수도 없는데, 왜냐하면
b=t^2-s^2        홀수^2-홀수^2=짝수이다. 하지만! 짝수^2-짝수^2=짝수 일 수도 있으니 조금 더 명확히 증명해보자.
t=n+1, s=m+1 (m,n은 양의 짝수이고 n>m)라고 가정하자.
b=t^2-s^2=(n-m)(n+m+2) 두 짝수의 곱으로도 나타낼 수 있다. 따라서 s,t는 서로 다른 홀짝성을 갖는다.


7. 가 짝수인 피타고라스의 모든 원시해가 식(*)으로 구할 수 있음을 보여라. (힌트: 먼저 는 공통인수가 없고 이면, 그 때 는 둘 다 홀수이어야 함을 보인다. 그 결과 으로 쓸 수 있고, 과 임을 증명한다.)
(a,b)=1
만약 (a,b)=n이라면 (n≠1인 양의 정수)
b=m+1
c^2=a^2+m^2+2m+1
c^2이 홀수라면 c역시도 홀수이다.
또한 (b,c)=1                          ※  (a,b)=z일 때 z는 a와b의 최대 공약수

(∵a는 짝수, b는 홀수)

a가 짝수인 경우
a=2st            b=s^2-t^2         c=s^2+t^2
가 성립한다.
a/2=st
(a/2)^2=(s^2)(t^2)

 b=s^2-t^2         c=s^2+t^2 를 통해 s^2과 t^2를 구해보겠다.

t^2에 관해 연립방정식을 세우면 다음과 같은 형태가 된다.
t^2=s^2-b
t^2=-s^2+c
2t^2=c-b
t^2=(c-b)/2

같은 방법으로 s^2에 대한 식을 세우고 계산하면 다음과 같이 된다.
s^2=t^2+b
s^2=-t^2+c
2s^2=b+c
s^2=(b+c)/2

따라서 t^2=(c-b)/2, s^2=(b+c)/2
이며
(a/2)^2=(s^2)(t^2)에 대입하면

의 형태로 된다.

위의 과정은 a가 짝수이고 b,c가 둘 다 홀수이기에 성립하는 것이다. 따라서 a가 짝수인 모든 피타고라스의 원시해는 식(*)으로 구할 수 있다.