이번에 시험을 봤는데 문제가 생겼습니다.
함수가 아래와 같을 때 그 함수가 볼록함수인지 아닌지 증명하시오.
y=x(0≤x) ,y=-x(0>x)
그래프는 아래와 같습니다.

(1번그림)

저는 이것에 대한 증명을 이렇게 했습니다.
함수내에서 임의의 두점을 선택해서, 두점이 어떻게 선택되든 볼록함수의 정의에 부합된다는것을 증명하므로써 위의 함수는 볼록집합이다 라는 것을 증명했습니다.
아래는 제 답안지입니다.

(2번그림)

저는 두점이 될수있는 경우의 수 3가지를 모두찾아 모든 경우의 수가 볼록함수의 정의에 부합됨을 증명했습니다.
그런데 교수님은 제가 틀렸다고 합니다.
틀린이유는 각각의 경우의 수를 증명하는 것이 함수전체를 증명하는 것은 아니라는 겁니다.
저는 이것이 정말 이해가 가지않습니다. 
대상의 모든 것을 증명했는데 대상을 증명한것이 아니라니...
오늘 교수님과 논쟁하다가 교수님이 뛰어나가 버렸습니다.
님들의 생각은 어떤가요? 이런상황은 어떻게하죠??