1. 무한합이라는 개념과 유한합의 극한값이라는 개념은 어찌보면 서로 다른 개념인것처럼 느껴질 수 있습니다. 이 두가지 개념을 이어주는게 입델 논법이에요. 무한이라는 난감한 개념을 유한의 범위 내에서 논리적으로 해결하는 것이지요. 여하간 이런 입델논법에 따라 0.999999...=1임을 보일수가 있어요. 하지만 사람들이 여전히 0.999999...<1인것 처럼 느끼는 것은 유한합에서의 개념을 무한합으로 끌고와서 혼동을 일으키기 때문이라고 생각합니다. 그렇다면 이를 이해 못하는 학생들에게 0.99999...를 단순히 극한값을 통해 설명할 것이 아니라, 가상의 무한합이라는 개념을 만들어 정말로 0.9999...=1임을 입델 없이 보여야 하겠죠. 물론 이러한 방법은 전혀 수학적이지도 논리적이지도 않습니다.
2. 그러면 이제 0.9999...는 급수라서 수가 아니다! 라는 의견에 대해 얘기를 해볼게요.
1=1+sigma(k=1 to inf)0*(0.1)^k입니다. 1이라는 수 또한 급수 형태로 나타나는 수에요.
모든 수는 소숫점 아래 0이 생략되었을뿐, 급수의 형태라고 볼 수 있어요.
급수이기때문에 수가 아니다~ 라는 말은 이러한 모순성을 지닙니다.
다만 0.99999...와의 차이는 1의 경우 처음부터 수가 고정되어있다~ 라는 생각이신것 같아요.
하지만 사실은 양쪽다 compactness theorem에 의해 처음부터 하나의 값으로 수렴되는 형태에요.
예컨대, 0.99는 하나의 수렴값이지요? 0.9에 도달하는데까지 걸리는 시간보다 0.99라는 수렴값에 도달하는 시간이 더 오래 걸리는지요?
소숫점 아래 숫자가 많아질수록 수렴하는데 시간이 더 오래걸려서 서서히 다가가는건가요?
아니에요. 유한소수일때에 대해서는 처음부터 수렴한다는 사실에 동의하실거에요.
마찬가지로, 무한소수일때도 처음부터 수렴하는 것이지, 원래는 1이 아니다가 극한값을 취하면 그제야 1이 되는 개념이 아니라는 거에요.
3. 예전에 학생들이 숨마쿰라우데라는 책을 들고 와서 질문을 한 적이 있었습니다. 고등학교 책인데 무슨 초실수계를 언급해놨더라구요 (...) 뭐 초실수계를 대충 설명하면, 임의의 양의 실수보다 작고 0보다 큰 초실수가 존재한다~라는것에서 시작하는 건데요... 사실 저도 잘 몰라요.-_-;;
무튼 우리가 알고있는 실수계에는 초실수라는 수가 없습니다. 0.9999....<1이라고 했을때 양변에 0.9999...를 빼면 0<0.00000...이 되는데, 임의의 양의 실수보다 작고 0보다 큰 0.00000........1? 이라는 숫자는 실수계에 없습니다. 그래서 모순이에요. (사실 이 아이디어가 입델의 핵심 아이디어입니다)
4. 무튼 대충 0.9999...문제를 정리해보면,
어차피 입델논법을 얘기해도 일반인들은 초실수계라는걸 떠올리고 있거나, 무한합과 유한합을 혼동해서 이해를 못한다.
그래서 무한합이라는 논리적이지도 않은 가상의 형태로 0.99999...=1임을 보여줘야 그제서야 납득한다. 정도가 될것 같네요.
