바쁘신 분은 아랫 쪽 큰 글씨만 읽으세요.
문제.
당신 앞에는 돈이 들어있는 두 개의 봉투가 있습니다. 한 봉투에는 다른 봉투의 두 배에 해당하는 돈이 들어있습니다. 당신은 봉투를 하나 고릅니다. 이 때 봉투를 바꿀 기회를 준다면 바꾸는 게 이득입니까?
틀린 풀이법.
틀1. 내가 선택한 봉투에 들어있는 값을 A라 하자.
틀2. A가 작은 쪽일 가능성은 1/2이고 A가 큰 쪽일 가능성 또한 1/2이다.
틀3. 다른 봉투에 들어있는 돈은 2A이거나 A/2이다.
틀4. A가 작은 쪽이라면, 다른 봉투에는 2A가 들어있습니다.
틀5. A가 큰 쪽이라면, 다른 봉투에는 A/2가 들어있습니다.
틀6. 따라서 다른 봉투에 2A가 들어있을 가능성이 1/2이고 A/2가 들어있을 가능성이 1/2이다.
틀7. 따라서 바꿀 경우 기대값은 (1/2)*(2A) + (1/2)*(A/2) = (5/4)A이다.
틀8. 이 값이 A보다 크므로 바꾸는 것이 이득이다.
틀9. 바꾼 이후 바꾼 봉투에 있는 값을 B라 하고 2~8을 동일하게 다시 할 수 있다.
틀10. 따라서 바꾼 이후에도 다시 바꾸는 것이 이득이다.
틀11. 따라서 이 과정을 영원히 반복하게 된다.
옳은 풀이법
옳1. 봉투A와 B 중 작은 쪽에 들어있는 값을 X라 하자.
옳2. 따라서 큰 쪽 봉투에 들어있는 값은 2X이다.
옳3. 선택한 봉투가 큰 쪽일 가능성은 1/2이고 작은 쪽일 가능성은 1/2이다.
옳4. 봉투 A의 기댓값은 (1/2)*2X + (1/2)X = (3/2)X이다.
옳5. 봉투 B의 기댓값은 (1/2)*2X + (1/2)X = (3/2)X이다.
옳6. 따라서 바꿀 경우와 안 바꿀 경우의 기댓값이 같다.
두 풀이법을 다른 방향으로 간략히 묘사할 경우
틀린 풀이법: 선택한 봉투의 값을 A라 하자. 바꿀 경우, A를 얻거나 A/2를 잃는다. 따라서 바꾸는 게 이득.
옳은 풀이법: 두 봉투에 있는 값을 각각 X와 2X라 하자. 바꿀 경우, X를 얻거나 X를 잃는다. 따라서 바꾸나 안 바꾸나 똑같다.
Q1. 왜 전자는 틀렸고 후자가 맞는가?
당신은 최초의 선택 때 X와 2X 사이에서 하나를 선택한 것이다. 당신의 선택에 따라 선택하지 않은 봉투에 든 돈이 (1/2)A에서 2A로 변한다던가 2A에서 (1/2)A로 변하는 것이 아니다. 당신이 X를 선택했다면 선택하지 않은 봉투에는 2X가 들어있는 것이고 당신이 2X를 선택했다면 선택하지 않은 봉투에는 X가 들어있는 것이다. 당신의 선택은 큰 쪽과 작은 쪽 중 하나를 선택하는 것일뿐 당신의 선택이 미리 들어있던 돈의 값을 바꾸는 것이 아니다.
※ 주의. 그냥 제 생각입니다.
레드
폐인
시노자키 아이는 1992년 2월 26일에 도쿄에서 태어났어. 코다 쿠미같은 가수가 되는 게 꿈이지. 2008년 첫 솔로
앨범 "M"을 발표해. 하지만 당시 17살에 불과했던 시노자키 아이는 이 때 자신이 "가수"로서 활동하는 것이
힘들다는 것을 깨달았을 거야. 앨범을 발표하고 나면, 무대에서 노래하는 모습을 꿈꾸었겠지만 방송국에서는
어떻게든 비키니 등 야한 옷을 입은 시노자키만 방송에 내보내려했고 이에 응하지 않는한 시노자키 아이는
방송에 출현하기 힘들었어. 이미 모든 사람들의 인식 속에 시노자키 아이는 가슴 큰 그라비아 아이돌이었을뿐이고
그녀의 노래에는 아무도 관심이 없었거든. 사실, 나조차도 그랬으니까.
2010년 말, 시노자키 아이가 기존 소속사와 결별을 하자 온갖 소문이 돌게 되지. 더군다나 이제 곧 성인이 되는
시기였기 때문에, AV를 찍기 위해 소속사와 결별했다는 소문까지 돌았어.
하지만 모두의 예상을 깨고 시노자키 아이는 여전히 가수라는 꿈을 위해 달려가고 있었어. 안정적인 수입을 원했던
소속사는 그라비아 아이돌로 활동하길 원했지만 시노자키 아이가 가수로 활동하고 싶다고 계속 주장하다 아이돌로
활동하게 해준다는 소속사로 옮겼다는 것이 정설이야. 하지만 직접적으로 알려진 바는 없어. 어쨌든, 소속사를
이전하고 AeLL이란 아이돌 그룹으로 활동을 시작한 거야. 하지만 달라진 건 없었어. 방송국도 시청자도 시노자키
아이가 벗기만을 바랄 뿐 그녀의 노래에는 관심이 없었거든. 그래도 방송에서는 거의 수영복만 입다시피했던
과거와는 달리 소속사를 이전한 뒤로는 그나마 정상적인 복장으로 주로 출현하고 있어.
2011년 말, 그녀에게 모창하는 프로에 출현할 기회가 찾아와. 그리고 시노자키 아이는 그 프로에서 인생 최초로
노래로 주목을 받게 돼. 개그로 포장되어 있기는 했지만, 이 순간을 자신의 블로그에 다시는 찾아오지 않을
순간이라고 적어두었지. 내 꼬리말 첫 짤은 바로 그 순간이야.
(
오유에 올린 노래하는 모습 원본 링크 )
하지만 인생은 동화가 아니었지. 시노자키 아이가 이 모든 것을 뒤엎을만한 가창력을 가진 것도 아니었기 때문에
사람들 인식은 쉽게 바뀌지 않았고 가슴을 드러내지 않으면 방송에 출현하기 힘든 상황은 현재 진행형이야.
시노자키 아이 말대로 다시는 찾아오지 않을 순간이 될 수도 있는 거지. 그래도 이 모창 프로가 비정기적으로
열리고 있기는 하지만 꾸준히 참가하는 중이고 여전히 공중파에서 나름 진지하게 노래 부르는 시노자키 아이를
볼 수 있는 유일한 프로야.