1.3n+1 문제

임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다.

n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.
예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다.

어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다.

유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다."라고 했습니다.

2.쌍둥이 솟수

p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다.

예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다.

쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다.

3.골드바흐의 예상

"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바흐가 주장했습니다.

200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다.

4.메르센 수

p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다.

메르센 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요?

또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.

5. 페르마 수

페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다.

그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다.

한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다.

지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다.

6.피보나치 솟수

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)

이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요?

n2 + 1 꼴의 솟수

n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요?

k 2n + 1 꼴의 합성수

모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요?