아래의 Moving Gif 그림파일이 본 게시물의 게시목적이라고 할 수 있습니다만 어찌어찌 글을 작성하다보니 헛소리(?)와 함께 스크롤만 과도하게 길어진 감이 없지 않습니다. 이 Moving Gif 파일을 왜 만들어서 올렸을까 궁금하지 않으신 분은 뒤로 가기를 누르셔서 시간 낭비를 회피하시기 권합니다;;
이하 작성될 글의 내용이 '유머게시판'에 맞는 성향의 글이 아님을 알고 있습니다만, 글 작성의 동기 부여가 된 2건의 게시물 모두 유머게시판 발 베오베 게시물이기에 이곳에 글을 작성하여 올리게 되었습니다. 게시판의 성향에 영 맞지않다고 생각하는 분이 많으시다면 삭제 후 '과학게시판'으로 옮겨 게시하겠으니 그에 관한 견해를 말씀해 주시면 감사하겠습니다.
첫 번째 게시물에서의 여러 댓글 중 상당 수의 댓글에 나는 '직관'으로 문제를 잘만 풀었는데 쓸데없이(?) '풀이 과정의 절차'를 밝히라는 요구가
납득되지 않았고 그 때문에 어느새인가 수학이 싫어졌다는 내용이 있었습니다. 상당히 안타까운 내용의 댓글들이라고 생각합니다.
어째서 이런 현상이 줄곧 발생해왔고, 발생 중이며, 앞으로도 꾸준히 발생하게 될 것이 뻔해보이는 것일까요?
우수한 '학생'과 일반적인 '교사'의 조합에서 종종 일어날 법한 현상이라고 판단되는 이러한 상황을 해소시킬 방법은 없는 것일까요?
개인으로서의 견해가 없는 것은 아니지만, 명확히 정리되지도 않았고 그것을 제 힘으로 해결할 수 있는 것도 아니기에
이 부분에 대해서는 그냥 넘어가도록 하겠습니다.
제가 '현직'이 아닌 '전직' 학원 수학강사인 이유 중 하나로군요. 참으로 슬프고도 안타깝네요. ㅎㅎ
(넋두리 한 번 해봤으니 그러려니 해 주시면 되겠습니다;;)
각설하고 본론으로 들어가겠습니다.
과연 '직관'이란 무엇이고, 대체 '수학'과 '산수'의 차이가 무엇이기에 이런 일이 벌어지는 것일까요?
'직관'이란 무엇인가? 에 대한 물음은 수긍이 되는데, 뜬금 없이 '수학'과 '산수'의 차이를 왜 짚어보냐? 고 생각하실 분들이 있을 것으로 보입니다.
'수학'과 '산수'의 차이란 과연 무엇일까요?
제가 학원 '수학'선생이었던 것은 사실이지만, 안타깝게도 '수학' 혹은 '수학교육'전공이 아닌 것 역시 사실이므로
섣불리 답을 하지는 못하겠군요. 이후에 달리게 될 댓글에 전공자 분들의 답을 기대해보는 것이 좋아보입니다.
다만 말을 꺼낸 장본인이 두 번 씩이나 견해의 피력을 회피할 정도로 뻔뻔하지는 못하기에 '부족'하거나 '잘못 되어' 있을지도 모를
저의 생각을 '예시'를 통해 밝혀볼까 합니다.
산수 : 길동이가 끌고온 소 와 둘리가 잡아온 닭의 머리 수의 합은 10이고 다리 수의 합은 28이면 소와 닭은 각각 몇 마리일까?
:(직접 소와 말을 끌고와서 셈 해보며 노가다를 뛰든 머리를 굴려서 재주껏 풀어내든 특정 상황의 답을 구하는 과정)
수학 : 위와 같이 연립방정식이라 불리우는 상황 중 구체적 한 가지 사례에만 적용되는 것이 아니라 모든 경우에 맞대응할 수 있는
::해결책을 끌어내어 얻어진 2원 1차 연립방정식의 해법 정립 (가감법, 대입법, 등치법 등) 및 특수한 상황 (계수 및 상수의 비가
::모두 일치하는 무수히 많은 해답이 존재하는 부정 및 계수의 비만 일치하여 정답이 전혀 없는 불능) 의 존재 가능성과 그러한
::이유의 분석 (연립방정식의 그래프가 일치 / 평행) 까지 포함한 연립방정식 체계의 완성
::또한 그 이후의 확장 (미지수가 2개이고 독립 변수가 모두 1차라 2원 1차 연립방정식이니까 미지수가 3개, 4개인 경우라면? 등등)
저의 졸렬한 예시가 마음에 조금 와닿으셨을까요? 중2 정도의 학생들도 조금은 납득할 수 있을 정도로 내려가려고 연립방정식을
예시로 들었습니다만… 쉽게 말해서 수학 교과서의 어떤 단원이든 '이론'에 관한 부분은 '수학'이고 실전인 '문제 풀이'는 '산수'라 생각하면
되리라고 봅니다.
그저 그 '산수'라는 것이 1+2=3 정도의 사칙연산 급의 '상식적인 산수'인지 아니면
함수 ＠§※를 △에서 □까지 정적분 하시오. 급의 '고도의 산수'인지의 차이겠지요.
요약하자면, '대상(수 혹은 도형)을 다루는 이론의 체계 확립'이 아닌 수치가 구체으로 주어진 사례의 해결이라면 저는 결국 산수라고 생각합니다.
뭐 제 멋대로의 생각을 밝힌 것이니 저와 생각이 다른 분들은 댓글로 의견을 써 주시면 좋겠습니다.
아무튼 이러한 저의 생각을 토대로 이후의 내용을 진행해 간다면 다음과 같은 결론이 나옵니다. (당연히 저 혼자만의 생각입니다.)
'직관'으로 무언가를 푼 사람들의 대부분은 십중팔구 '산수'문제를 해결한 것이지 '수학'을 푼 것이 아닐 것이다.
저는 '수학' 그 자체에 대해서는 '푼'다라는 표현이 어울리지 않는다고 생각합니다. 상정할 수 있는 모든 상황과 집행한 논리전개의 전 과정마다
근거를 대가며 샅샅이 '밝혀내는' 것이라고 해야할까요? 이 중에서 특히 '밝혀내는' 이라는 부분이 중요하다고 봅니다.
쉽게 말해 '증명'이 되겠네요. 타인을 납득시킬 수 있는…
따라서 '직관'이 아무리 강해도 그것 만으로는 '수학'의 발전에 전혀 기여할 수 없다. 저로서는 이렇게 결론이 나올 수밖에 없네요.
제게있어 '직관'과 '증명'은 어떤 의미에서는 '상극'인 관계로 보이니까요;; (잘못 된 생각일까요?)
첫 번째 게시물의 댓글 중 하나에서 따온 그림입니다. 다들 이미 보셨을 겁니다.
지식 / 직관(사실 Insight 는 통찰을 의미하지만) / 지혜 …… 무엇이 무엇이고 무슨 차이가 있는 것인지 정말 이해하기 쉽다고 생각합니다.
'지혜'의 그림을 보시면 '연결 경로'를 명확히 밝혀준 것이 보이시지요? 저 노랑 연결선이 처음부터 끝까지 '끊어지지 않고 이어져' 있음을
보증하는 것이 '증명'입니다. 이 부분이 없으면 얻어진 결과(답이되었든 무엇이 되었든)의 가치는 반감됩니다.
얻어낸 사람만 혼자 알고 설명을 못하는 직관이라… 답 그 자체는 훌륭히 사용될 수 있겠지요. 그 부분에 대한 기본 가치는 건재합니다.
'모로 가도 서울만 가면 된다.'는 우리네 속담이 있군요. 본디 사용되던 의미와는 조금 다른가요?
아무튼 어찌저찌해서 서울에 왔습니다. 어 그런데? 서울에 어떻게 왔는지를 설명할 수가 없네요. 나는 와서 좋은데 가족이 됐든 누가 됐든
다른 사람을 서울로 이끌어줄 수 없다? 주변에 도움이 안되는군요. 타인 혹은 후대에의 전승이 불가능하다? 이 부분의 가치는 증발하였습니다.
결국 '직관'을 통한 해결은 전체 가치가 반감되었다고 볼 수 있겠군요. (설명할 수 있다면 별개지만 그러면 본 게시물의 작성 원인이 사라지죠.)
게다가 '서울'에 갔다 온 후 나는 '서울'에 갔다왔다고 이야기하며 서울을 찍은 '사진'을 주변 사람들에게 보여줄 경우를 상상해 본다면…
아마도 이런 일이 벌어지지 않을까 싶네요.
"합성 사진 아니냐?"
"가 봤다는 놈이 지가 갔던 길도 제대로 설명을 못하는데 잘도 믿겠다."
"그럼 서울 옆에 있다는 인천도 갔다와 보시지?"
네 당연히 '사진'은 직관으로 느닷없이 튀어나온 '답 (현재 정답인지 모름)'이고, 기억나지 않는'서울가는 길'은 답을 얻기 위한 해결과정이 되겠지요.
게다가 어찌저찌하여 저 '서울 사진'이 진짜임이 밝혀졌다고 칩시다. 그리고 문제의 그 친구는 정말 손쉽게 '인천'도 갔다 오고 '평양'도 갔다 오고
바다 건너 '제주도'까지 갔다 오며 각 곳의 특산물(매우 유용한 끝내주는 해답들)까지 챙겨와 그 모든 것이 다 사실임을 보여주고 있는데
어떻게 그렇게 동에 번쩍 서에 번쩍 하는지 설명만 못한다? 그러면 다음 반응은 아마 이렇게 되겠지요? (저도 동감하기에 멋대로 따왔습니다.)
괴물처럼로 보이는게 어찌 보면 당연하다고 생각합니다. 인간의 범주에서 벗어나보이면 그리 생각하는 것도 무리는 아니겠지요.
아~ 상당히 곤란해졌군요. 타인에게도 '서울'가는 법을 알려줘서 많은 이들을 기쁘고 행복하게하여 세상에 공헌을 할 수 있다면
세상을 진일보시켜준 '천재'라 칭송받으며 온갖 명예를 누릴 수 있을 것인데…, 내 한몸 만큼은 '서울이든 어디든' 마음껏 들락날락
거릴 수 있는데 대체 무엇을 어떻게 한 것인지 '납득(증명)'시키기는 커녕 '대략적인 설명(아이디어 제시)'조차 못한다?
상대방으로서는 정답을 저렇게 잘 내는데 설명만 못해? '못하는 건지 안하는 건지?' 일부러 저러나 싶어할 수도 있겠고, 당사자로서는
'나는 잽싸게 답냈으니 장땡이네, 저 기타등등(우리네 노멀한 사람들)들은 죽어라고 뺑이치며 아직도 문제 풀고있네?'
'그나마도 대부분은 틀리고 앉았고… ㅋㅋ' 라며 혹시라도 우월감을 피력하거나 한다면? 뭐~ 바로 '괴물' 당첨이죠.
그것도 '혐오스러운 괴물'로…
타인에 비하여 압도적으로 빠른 시간안에 최고 효율로 정답을 뽑아내었음에도 불구하고 그까짓(?) 중간 과정 좀 제대로 안 밝혔다고
오답처리를 받아 억울함을 느끼신 분은 약과이고, 심지어 귀싸대기까지 맞으신 분도 계시던데… 안타까운 일입니다.
이러면 수학이라는 '과목'을 좋아하게 될 리가 없죠. '수학'에게는 죄가 없는데…
아~ 쓰다보니 딴소리만 실컷 쓴 것인가? 싶은 느낌이네요.
요점은 '직관'만으로는 죽도 밥도 안된다. 이건 '개인'에게는 큰 장점이자 '축복(그래봤자 시간제한 걸린 시험에서나 좋을 뿐…)'일 지언정
스케일을 너무 크게 잡은 감이 있는지는 몰라도 '인류'라는 '집단'에게 있어서는 큰 의미가 없다라고 생각한다는 것입니다.
타인에게로의 '전파' 혹은 후대로의'전승'이 불가능하니까요.
아! 빗대어 설명하기에 좋은 예시가 있군요. "라마르크의 용불용설" (설명은 생략하겠습니다.)
딴 소리를 쓴 것 같은 김에 조금만 더 써보도록 할께요. 작년부터 대중의 큰 관심을 끌게 된 과학기술 중 하나가 A.I.이지요?
자아를 가진 강인공지능이라는 녀석이 완성되면 얼마 안있어 자체 개량을 통해 초인공지능으로 업그레이드 될 가능성이 100%이다.
라는 이야기를 다들 접해보셨을 것이라 생각합니다.
이 이야기를 접한 수많은 사람들이 인간의 수준을 아득히 넘어서는 초지능체가 탄생될 경우 인류 멸망은 필연이다.
그런 괴물을 만들어내서는 안된다. 라고들 하지요? 초지능체로서는 이러저러해서 할만하니까 해결했고 이런 결과를 얻어냈다. 고
하겠지만 인간들의 능력으로는 전혀 이해할 수가 없어 곧장 답만 톡 튀어나와보이는 상황…
네~ 앞서 보았던 그림의 직관(Insight) 그 자체네요. (사실 Insight는 통찰이며 직관과 다름을 다시금 밝힙니다.)
나보다 압도적으로 우수하고, 그렇기에 무엇이 어찌 돌아가는지를 헤아릴 수 없어 통제가 불가능한 '괴물'…
직관력이 강한 사람을 바라보는 주변인들의 시선 속에는, 예시로 든 초지능체에 대한 두려움 혹은 혐오감에 비할 정도는 아니겠지만
분명 저런 느낌이 조금이나마 녹아들어있지 않을까 싶네요.
저러한 난처한 상황에 처하고 싶지 않다면, 그러한 감정을 해소시킬 의무는 '당사자'에게 있겠지요.
그러니 결과에 도달한 과정을 최선을 다해 밝히려는 마음의 자세를 반드시 갖추어야 한다고 생각합니다.
최소한… 나의 직관력이 너무 강해서 제대로 납득을 못시키더라도 나로서는 최선을 다해 '설명하려고 노력한 것만큼은 전해지도록!' 요.
이런 느낌이라도 받게해야 하게 해야하지 않을까요?
그러니, 가지고 태어난 강력한 '직관력'은 마음껏 쓰시되 덕분에 압도적으로 절약하게 된 노력과 시간의 절반만이라도, 과연 이것을
'어떻게 설명해야 좋을까?'에 투입하시길 바라고 '없는 직관력을 부여하지는 못하겠으나 잠들어있을지 모를 상대의 직관력을 깨워줄
방법은 없을까?' 도 고민하시길 바랍니다.
위에서 각설하고 본론으로 들어가겠습니다. 라고 해놓고는 뭔가 또 다시 딴소리만 쓴 것이 아닌가 싶어 면목이 없네요.
최종 요약을 하자면…
'직관'가지고 해결할만한 것들은 그것이 초급이든 고급이든 결국 문제 풀이 급 '산수'일 뿐이며
'수학'에 있어서는 '직관'은 도약의 계기(~~~의 추측 등)를 마련할 뿐, 진일보는 처절할 정도의 '논증(풀이과정의 제시)'에서 나온다.
'직관'을 가진 자에게는 그렇지 못한 자에게 최소한 '설명의 노력'이라도 보여야하는 '의무'가 있다.
정도 되겠네요.
재미도 없을 것이 뻔한 저의 글을 여기까지 읽어주신 분들은 이제 제가 준비한 내용의 하이라이트를 맛보실 때가 되었습니다.
본래 이 아래의 내용이 주 목적이었는데 이 소리 저 소리 쓰다가 스크롤 압박만 심해져버렸네요. 죄송하게 생각합니다.
제가 본 게시물을 작성하게된 최종 트리거는 이 분의 댓글이었습니다.
제가 보기에는 엉뚱한 댓글에만 추천이 잔뜩 달려있고, 되레 이 분처럼 직접 문제까지 풀어보며 프로그램 내용의 신빙성까지 체크한 값진 댓글에는
무반응이더군요. 의혹을 제기한 문제를 정공법으로 풀려면 고2 수준은 되어야하니 많은 분들이 풀어보고 검증하기는 쉽지 않겠으나
정답도 아닌데 정답인 양 방송한 것이 사실이냐고 반응하는 사람도 없고… 아무튼 84 라는 분의 말씀대로 정답은 9층 탑 188개 소요 12개 남음 이
맞기에 제게 있어서는 프로그램 내용의 신빙성이 꽤나 삭감된 상태입니다. (방송 전체를 보지 못하여 구체적인 파악은 못 했습니다만…)
7번째 사진 왼쪽의 문제라는 것을 아래에 첨부하겠습니다.
유찬이 어린이가 비록 틀렸으나… 맞았다고 가정하고, 풀이 과정을 적지 않고 눈으로 바라보기만 한 채 소위 '직관'이라는 그것으로 풀었다면
과연 어떻게 해결하였을 것인가? 그리고 그러한 '직관'이 작동하게된 일련의 과정을 정말 설명할 수는 없는 것일까?
저 나름대로 재현을 해보았습니다. 사실 까놓고 말해서 제가 푼 것이지만, 기존 게시물에 달려있던… 풀이 과정 없이 눈으로만 풀어서
답을 얻어낸 경험이 있는 많은 분들이 언급했던 '직관' 이라는 것을… 추상적일 수밖에 없는 사전적 의미가 아닌 제가 보여드리는
구체적 예시를 통해 조금이나마 맛보실 수 있기를 바랍니다. 이것이 계기가 되어 누군가에게 조금이나마 도움이 되기를 바라며…
아예 실제 상황을 그냥 그려버렸습니다. 본디 이 문제는 계차수열과 Σ취급법을 숙달하는 과정에서 등장할 문제입니다만 방송에 등장하는
초등학교 3학년 학생이 '직관'으로 즉석에서 풀어낸다면 과연 어떤 식으로 접근할까? 를 제딴에 시뮬레이션(?)한 것이라고 보시면 되겠습니다.
(사실 오유찬 어린이나 저 역시 실제 문제 풀이에서는 사진 속의 4층탑 그림으로 바로 문제풀이에 착수하겠지만 188개라는 정답의 직접 확인을
위해 다이렉트로 9층 탑을 그린 것입니다.)
말 그대로 '직관'이 흘러가는 과정을 일일이 쪼개서 늘어놓은 것이니 딱히 설명은 필요 없을 것이라 생각하며 그림 파일들만 연속적으로
보여드리도록 하겠습니다. '직관'이니 말 그대로 그냥 직접 보시기 바랍니다. "척~ 보면 압니다." 이게 직관이니까요.
다 살펴보셨겠군요. 그림 파일을 일일이 쪼개놓았더니 꽤 많아보이지요? 이러한 일련의 과정을 게시물 맨 처음에 올렸던 Moving Gif 파일에
모조리 묶어 담았습니다. 1 프레임에 0.3초 간격 재생으로 만들었는데요. 다시 한 번 감상하시지요.
※ (9×10)＋(10×9)＋(9－1) 의 의미를 파악해야 '직관' 풀이가 완성된 것입니다. (직접 생각해 보시길 바랍니다.)
이처럼 도형의 분할 및 이동을 통해 변형시킬지라도 (9×10)＋(10×9)＋(9－1) 의 의미를 잡아내지 못하면 결론을 내지 못합니다.
왜냐하면 이게 되어야 다른 층수 탑의 성냥개비 소요량을 끌어낼 수 있기 때문이지요.
직관이란 것이 말로 설명하기에는 곤란하기도 하고, 그렇기에 직접이든 간접이든 몸소 느껴보는 것이 최고이긴 한데…
이런 특정 사례 하나만으로 전달되기는 힘들겠지요? 그냥 맛보기 정도로 생각하면 좋지 않을까 싶습니다.
어쨌든… 실제로 '직관'이 작동하고 있는 머리 속에서는 아래의 Moving Gif 가 1초 내로 재생 완료 된다고 보시면 좋을 듯 싶네요.
전 게시물의 어떤 분의 댓글에 나온 대로 '읭?' 하는 순간 바로 결론이 뜨는게 '직관'이니까요.
그러면 1초 내에 문제를 푼 것이냐? 고 묻는다면 아니오. 라고 대답하겠습니다. 문제를 읽는 동안 '직관'이 발동할 준비가 은연 중에
되고 있고, 문제를 다 읽는 순간(사실은 문제에 제시되는 정보를 모두 접수하는 순간) 문제를 읽으며 수집해 둔 모든 정보들이
한 큐에 '읭?' 과 함께 '답'으로 혹은 '답을 끌어내는 핵심 논리'로 맞물리며 튀어나오게 되는 것이라 생각하므로
'문제 읽는 시간 + 수 초'
라고 답해야 겠네요. 위에 언급한 ' + 수 초' 부분이 길어지면 길어질 수록 '직관'에서 '통찰'로 넘어간다고 생각합니다만
직관과 통찰의 차이에 대한 저의 견해까지 언급하는 것은 무리라 생각하므로 패스 하겠습니다.
아래의 문제도 '직관'으로 한 방에 해결 가능한 문제입니다.
4천 승이 됐든 4억 승이 됐든 그것은 크게 중요하지 않습니다. 9를 거듭제곱 했다는 사실과 3817자리 수임을 밝혀준 것 처럼 몇 자리 수인지만
밝혀준다면 결론은 아래에 보이는 '오유찬 어린이'의 풀이 및 정답처럼 순식간에 정답을 끌어낼 수 있습니다.
대체 무엇을 어떻게 캐치했길래 저 어려워보이는 문제를 순삭 시켰냐고요? 요점은 이것입니다.
문제가 묻고있는 답을 구성하는 요소들의 특징들… "왼쪽 첫 자리 수가 9인 것들"
8이나 7 등으로 시작하는 것들이 아닌 9로 시작하는 놈들에게 무슨 비밀이라도 있나? ← 이것이 강력한 힌트 입니다.
아~ 그런데 글이 너무 길어지고 작성에도 한 세월 쏟아부어서 지금 상당히 피곤하고 힘드네요;;
따라서, 여기서 마무리 짓도록 하겠습니다.
혹시 지금
'읭?'
하셨나요?
그렇다면 제가 글 쓰다가 도망(?)간 것을 '직관'적으로 파악하신 겁니다. ㅎㅎ
이로써 '유머게시판'에 어울리는 글이 되지 않았을까? 라고 생각해보며
쓰잘데기 없이 길기만 한 본 게시물을 마무리 짓겠습니다.
읽어주셔서 감사합니다.
※ 9의 4000승 문제는 댓글에 풀이를 달든가 하겠습니다. (진짜 피곤해서 갑니다. ㅋㅋ)
