분수방정식 파트에서 강의 듣다가 이해가 안가는 부분이 대거출몰했는데 4시간동안 아무리 고민해도 스스로 해결이 안되네요ㅜㅜ

위에께 문제고 밑에께 강의 듣고 필기한 내용인데요.

1) 선생님께서 설명하시길 A∪B=R과 A∩B=∮를 만족할 때, A식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립하거나, B식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립해야 한다고 하셨거든요? 그런데  A∪B=R이 어떻게 A의 해집합이 R이거나 B의 해집합이 R이라는 걸로 연결되죠? A∪B=R은 어느 한쪽이 R이 아니라 둘이 합쳐서 R이라는 건데...게다가 저 논리대로라면 이 시점에서 [A=R, B=∮]이거나 [A=∮, B=R]라는 결과가 도출되는거 아닌가요?(강의에서 이 결과는 f(x)≠0에 의해 맨 마지막에 도출된다고 하시네요.) A의 해집합이 R이거나 B의 해집합이 R인데 A∩B=∮이니까요. A식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립하거나, B식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립해야 한다는 게 우리말로 받아들이면 이해가 되는데 조건식과 비교하니까 서로 모순되는것 같아요.

2) 그리고 선생님께서 A∪B=R과 A∩B=∮의 예를 들어 주실 때, 해집합 A가 양수이고 해집합 B가 0보다 작거나 같은 상황이면 A를 만족하는 게 양수이고 B를 만족하는게 0보다 작거나 작다는 뜻이래요. 그런데 바로직전에 말씀하신 것에 의하면 A식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립하거나 B식이 모든 실수 x에 대해서 항상 성립해야 하는거지, 어떨 땐 A가 성립하고 어떨 땐 B가 성립하는 게 아니라고 하셨거든요? 그런데 A가 양수이고 B가 0보다 작거나 같은 상황은 앞의 말씀에 어긋나는거 아닌가요?

3) 그리고 해집합 A가 양수이고 해집합 B가 0보다 작거나 같은 상황이려면 그래프가 A는 x축보다 위에 있어야 되고 B는 x축보다 밑에 있어야 된대요. 해집합 A, 즉 A를 만족하는 x값이 양수인건데 왜 그래프가 x축 위에 있어야 하는거죠? 그래프가 x축 위에 있는 건 x값이 아닌 함수값이 양수인 상황이잖아요.

4) 또 이어서 하시는 말씀이 x축보다 위에 있는 그래프가 x축보다 밑으로 가려면 주어진 다항함수가 x축을 반드시 한번 통과해야 된대요. 그런데 f(x)≠0이 모든 실수 x에 대해 절대로 통과하지 않는다는 뜻이므로, 그래서 A∪B=R과 A∩B=∮의 논리가 [A=R, B=∮]이거나 [A=∮, B=R]이라는 두 케이스밖에 안생기는 거래요. 왜 f(x)≠0이 [A=R, B=∮]이거나 [A=∮, B=R]라는 결과를 도출하는지 이해가 안가요.

5) A와 B가 가리키는 대상이 정확히 뭔가요? 위에 빨간 밑줄에서 A와 B를 언급하는게 한번 나오고 그 다음에 밑에서 h(x)를 포함한 전체 조건을 정리해서 A와 B를 다시 한번 분류해주시는데 두번 다 해집합을 의미하는 게 맞나요?

제가 방정식과 해집합에 대한 개념이 정립이 안돼서 그런지 뒤죽박죽이네요. 이해가 안되는 부분이 여러군데라서 먼저 하나 질문하고, 그 다음 일단 선생님 말씀을 참으로 받아들이고 다음 부분에 대해 질문하는 식으로 해서 질문들이 서로 충돌하는 부분도 있네요ㅜㅜ 제가 잘못 이해하고 있는 부분이 있는 것 같은데 뭔지 모르겠어요ㅜㅜ 강의를 직접 들어보시면 제가 질문하는게 정확히 뭔지 더 이해하기 쉬우실텐데 강의를 잘라서 올릴수 없는게 안타깝네요. 너무 길어서 죄송합니다.ㅜㅜㅜㅜ