모든 여자들은 "백마탄 왕자"를 꿈꾼다.

그렇다면 여자들은 그 "백마탄 왕자"를 찾기위해

언제까지 튕길 수 있을까?





한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자.

100명 중 "백마탄 왕자"는 단 한 명뿐!

물론 그가 몇번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없다.

여자가 100명의 남자를 다 만나보고

그 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평하니까

프로포즈한 남자를 튕기면

다시는 그 남자를 선택할 수 없다고 하자.

즉 99명의 남자를 다 튕겨버렸다면

100번째 프로포즈하는 남자와 결혼 하는 수 밖에 없고

첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면

다른 99명의 남자가 어떤 남자인지 보지도 못한다.





그렇다면 여자에게는 전략이 필요하다.

몇 명까지는 일단 튕겨보고

그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼 하기로 한다.





P(B) = 여자가 백마 탄 왕자를 선택할 확률

P(A1) = 백마 탄 왕자가 첫번째로 프로포즈 해올 확률

...

P(A100) = 백마 탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올 확률





여자가 백마 탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은:

P(B)=P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)+……+P(A100)*P(B|A100)





여자가 우선 r명까지는 튕겨보고

그 다음부터 만나는 남자 중

제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자.

그러면 P(B|A1)=P(B|A2)=……=P(B|Ar)=0

당연히 처음 r명 안에 백마 탄 왕자가 있었다면,

이 여자의 작전은 완전 실패! OTL





r+1번째로 백마 탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면

r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다
더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까

백마 탄 왕자를 선택할 확률은 100%





r+2번째에 백마 탄 왕자가 있는데

r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕견 r명보다 나은 남자였다면,

여자는 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게 되고

그러면 백마 탄 왕자는 보지도 못하니까 또 전략상 실패다.

따라서 백마 탄 왕자의 프로포즈를 받기 위해서는

r+1번째 남자가 처음 r명보다 나은 남자여서는 안된다.





즉 백마 탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자 중

가장 괜찮은 남자는 처음 r번째 이내에 있어야 한다.

따라서 확률은 r/(r+1).





이런 식으로 생각해 보면,
백마 탄 왕자가 백 번째로 프로포즈 해올 때

여자가 백 번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/99.





따라서,

P(B|A(r+1))=1=r/r

P(B|A(r+2))=r/(r+1)

...

P(B|A100)=r/99





이 결과들을 처음 식에 대입하면,

99 1 r

∑ --- * ---

x=r 100 x





이것이다. 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.

연속적으로 생각해서 적분을 하자.

99 1 r

∫ --- * --- dx

r 100 x

r 99

= --- * [ln x]

100 r

r

= --- * [ln 99 - ln r]

100





우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는 것이니까

상수항과 계수는 신경을 쓰지 않아도 된다.

미분을 해보자.





d

--- r(ln 99) - r(ln r) = 0

dr



= ln 99 - (ln r + 1) = 0



= ln r = ln 99 - 1



∴ r = 99/e ≒ 36.42





답이 나왔다. 36명이다.

보통 한 여자에게 프로포즈 하는 남자가 10명이라고 하면

여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도

4명부터는 튕겨서는 안 된다는 계산이 나온다.

사실 10명도 많다.

보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면

처음 한 명은 튕겨 볼 수 있으나

두번 째 남자가 첫번 째 남자보다 낫기만 하다면

받아들여야 하는 것이다.

그런데도 여자가 튕긴다면

그 여자 앞에 연습장 펼쳐 놓고

미분적분 한번 해 주는 것도 좋을 것이다.





P.S. : 그니까 여자들아,, 팅기지 마라고! ㅎㅎ