미분귀신




옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다.

그 마을의 이름은 자연수 마을 Natural Number Village 이었다.

그런데 어느날 마을에 미분 귀신이 나타났다.

미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들었다.

마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네사람들이 반상회를 개최하였다.

몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 방정식 마을에 구원을 요청하기로 하였다.

이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 x^2장군을 자연수 마을에 급파하였다.

전투 시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 x^2장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신.

그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.

그러자 방정식 마을에서는 x^3장군을 급파하였다.

그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다.

단 4번의 미분에 그만 작살이 나고야 말았다.

당황한 방정식 마을에서는 x^n참모총장마저 보내는 초강수를 택하였으나 그 역시 n+1 번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다.

이제 아무도 미분 귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나,

방정식 나라에는 마지막 희망 sin[x], cos[x] 두 장군이 있었다.

좌 sin[x], 우 cos[x] 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다.

미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다.

아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는

sin[x], cos[x] 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다.

그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내어 cos[x] 장군을 미분시켜 sin[x] 장군에게 던져버린 것이다.

마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부디쳐서 그만 자폭하고 말았다.

일이 이쯤 되자 방정식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.

그런데 전설적인 용병이 등장하였다. 그의 이름은 바로 지수 exponential 검신이었다.

그가 가진 e^x 라는 무기는 미분귀신이 수백번의 미분을해도 전혀 손상되지 않았기 때문이다.

미분귀신은 당황하기 시작하였다.

이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다.

하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 패하고 말았다.




글쎄...




그 미분귀신이...




y 로 편미분을 해버리고 말았던 것이다...!





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우리의 미분귀신이 지수 exponential 함수 e^x 를 죽이고 미분에 싫증을 느낀 나머지 자연수 나라를 떠났다.

마침내 평화가 찾아온 자연수 나라. 그러나, 아....! 평화란 지속될 수 없는가?

이번에는 이 나라에 적분귀신이 나타나 자연수들을 닥치는 대로 적분을 시작했다!

적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면,

출처가 불분명한 C(적분상수)라는 것들을 대량으로 만들어내었고,

심지어는 x로 적분한뒤 다시 y로 적분해 xy라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는 것이었다

이제야 평화가 오는가 했던 자연수 나라의 촌장은 아연실색을 하며

옆 마을 다항식의 나라에 도움을 청했다. 그러나 다항식의 나라는

적분귀신은 자국에 도움이 된다며 이를 거절했다. 심지어 '적분귀신을 환영합니다'

라는 플랭카드를 내걸기도 하였다. 자연수왕은 얼마 안 남은 순수 자연수들을 모아 대책회의를 열었다. 회의 결과 다시 미분귀신을 불러야 한다는 의견이 나왔다.

그러나 미분귀신을 부르면 그들조차 막대한 피해가 있기에 그들 사이에서도 의견이 분분했다.

결국 미분귀신을 부른 후 순수 자연수들만 비밀 아지트에 숨기로 하고 미분귀신을 불렀다.

다시 자연수 마을에 온 미분귀신..!

일단 상수 C들을 닥치는 대로 죽이고, 다항식들을 죽이기 시작했다.

거의 모든 다항식들이 죽어갈 무렵, 미분귀신 앞에 적분귀신이 나타났다.




적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자"

미분귀신 "좋다(흐흐.. 내겐 편미분이라는 무기가..)"




그.러.나...




적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수 다항식

Lim a1*a2*....*an 이었다.

n->∽

아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들..




미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오..-_-;;"

적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!"




눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가...




미분귀신 "어.. 어떻게?-_-;;;"

적분귀신 "......."




그렇다...

적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다...!




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적분귀신은 정말 대단했다.

승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할만한 상대가 자연수 마을에서는 더이상 존재하지 않았다.

여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여 적분귀신을 물리칠 동지를 찾아 나섰다.

정수마을, 유리수마을, 실수마을, 심지어 그 복잡하다는 복소수 Complex Number 마을까지...

그러나 미분귀신은 더이상 동지를 찾을 수 없는듯 했다.




"수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는것인가...?"




자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다.

실수 및 복소수 마을에서 연속 함수 들이

어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산 조각이 나는 것이었다.

"저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다.

자세히 보니 그놈은 델타 함수 였다.

연속함수들을 sampling을 통해 이산 함수 로 만들고 있었던 것이다.

며칠 후...

자연수 마을로 돌아온 미분귀신은 델타함수를 적분귀신 앞에 내놓았다.

적분귀신은 자신의 비장의 무기인 0에서 0까지 정적분을 사용했다.

그러나 델타 함수는 사라지지 않고 1을 남겼다.

델타 함수는 정말 대단했다.

특이하게도 0(-0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이되는 것이었다.

순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다.

그러자 1이 사라졌다.

이때 나선 미분귀신은 델타 함수를 무한번 미분해주기 시작했다.

적분귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도

미분을 통해 계속 델타 함수의 변종들이 나타나는 것이었다.

적분귀신은 드디어 두손두발, 아니 두 인티그랄(integral)을 다 들고 말았다.

미분귀신과 델타 함수의 연합전선은 정말 대단했다.

그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에

그들은 사라지고 말았다.

"무슨일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다.

...

...

...

그 거대한 못짓.

그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는

거의 신적인 존재였다.

그는 바로 '정의(definition)귀신'이었다.

미분귀신과 델타함수가 열심히 ally를 해도

마지막에 정의귀신이 "= 0" 한마디면 끝나는 것이었다.




과연 정의귀신을 대적할 자가 이세상에 존재할른지...





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.. 바야흐로 중원의 미분 귀신과 적분 귀신에 의한 전국 시대는




정의 귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다.




정의 귀신의 활약은 대단했다.




정의 귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화 되고,

모든 마을 사람은 정의 귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게 되었다.




그러던 어느날, 정의 귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다.




정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌 듯하게 보이는 마을이었다.




하지만.. 문제는..




마을 사람들이 정의 귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다. -_-;;


그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이


이렇게 무시당하는 것에 정의 귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다.


마침 굉장히 어리버리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다.


정의 귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯, "= 0"을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝 하지 않고, 대뜸 이렇게 반문하는 것이었다.




"아저씨, 그건 95%의 신뢰 구간에서는 채택될 지 몰라도 저는 유의수준이거든요. 딴 데 가서 알아봐요."




정의 귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다.


무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지 않는 것이었다.


화가난 정의 귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다.


하지만, 그 청년은 정의 귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(Real number)를 만들어내는 것이 아닌가?


정의 귀신은 이해할 수 없었다.


왜 사라지기는 커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가?


정의 귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을 수가 없었다.


청년은 대답했다.




"저는 확률 함수라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건 간에 그에 따른 확률을 계산합니다."




"이럴수가.. -_-;;;"




"이 마을은 '확률과 통계'라는 연합 마을입니다. 이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을 알려주지요."




"그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군. 한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는 것이지?"




"저희가 가진 힘은 시계열(통계학의 연구 분야의 하나, 본인이 현재 대학원에서 전공중인 분야)이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면 아무 것도 아니기 때문입니다. 그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을 갖고 있지요. 시계열 마을 뿐 만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는 시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다. 소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는 프랙탈(Fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다."




"..."




역시 세상은 넓다고 했던가..

정의 귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.



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이렇게 하야 '확률과 통계'라는 연합마을 덕분에, 평화를 찾게 된 수학국(數學國).
그런데, 얼마 되지 않아, 수학국에 '집합'이라는 최후(?)의 탐욕가가 나타났다.
그 탐욕가는 모든 자연수를 삼켜버리는 능력을 가지고 있으며,
방정식은 물론 프랙탈도 삼킬 수 있다고 한다.
(소문에 의하면 자신과 동맹인 '그래프'라는 천하제일검객도 삼켰다고도 한다.)소문에 의하면..

기껏 재기한 자연수들을 가차없이 자신의 입에 넣어 몸집을 불렸고,
곧이어 정수, 유리수, 실수, 복소수까지 모조리 삼켜버렸다.
이제 '집합'은 C(복소수)집합이 되었는데,
아직 만족하지 못한 집합은 방정식의 마을로 쳐들어가,
모든 식을 자신의 양식으로 삼았다.
최후의 생존자인 2^n도 그의 앞에서 처참히 쓰러지고 말았다.
(이것이 우리가 '멱집합'이라고 부르는 것이다.)

또, 방정식마을을 싹쓸이한 집합은 프랙탈 마을로 쳐들어갔다.
이에 프랙탈 사람들은 자신들의 고유권법(프랙탈)을 사용했으나
집합은 오히려 그것들을 이용해,
몸집을 부풀리기까지 했다.(멱집합의 부분집합)
결국, 프랙탈마을도 초토화 되어버리고,
'확률과 통계'마을 사람들은 벌벌 떨어야 했다.

그러던 어느날, 일이 터지고 말았다.
'집합'은 '확률과 통계'라는 연합마을로 쳐들어간 것이다.
처음으로 그를 만난 확률청년(정의귀신을 쫓아낸 장본인)이 그와 대화를 시도하고자 했으나,
그는 아주 잔인하게 그 확률청년을 죽였다.
A∩Ac=φ를 이용하여 P(A∩Ac)=0으로 소멸시킨 것이었다.
이에 '확률과 통계' 연합마을에서 이 '집합'이라는 골칫거리를 제거하고자 했으나,
'집합'은 확률마을 사람들은 P(A∩Ac)=0으로,
통계마을 사람들은 (Ai≠Aj)⇒|Ai∩Aj|=0으로 깡그리 소멸시키고 말았다.

'확률과 통계'마을을 순식간에 점령해 버린 '집합'은 다음 목적지로 '관계마을'로 가는데...
관계마을에 도착한 '집합'은 한 작은 관계꼬마를 삼키려고 했다.
그런데, 이 관계꼬마가 소위 '분열'을 쓰는 게 아닌가!그렇다.
(a,b)≠(b,a)인 사실을 이용하여 전혀 다른 객체로의 분화가 이루어진 것이었다.
그걸로도 모자라, 관계꼬마는 집합과의 접촉을 시도한다.
관계꼬마가 집합과 접촉하는 순간,
관계꼬마는 1+n+n^2+...+n^n명으로 분열되고 만 것이었다!
그리고 그 영향이 '집합'에도 나타나,
'집합'은 이 불어나 버린 관계꼬마를 제거하기 위해가장 위험하다는 '구토신공'을 사용하기에
이르렀다.그가 '음식물'을 하나씩 토하자,
불어난 관계꼬마의 수도 점점 줄어들기 시작하고,하나만 남기고 모두 토하자,
관계꼬마의 수는 다시 하나로 줄어들었다.
(정의역이 줄어들면 가능한 관계의 수도 줄어든다는 사실을 그 꼬마는 모르고 있었던 것이었다.)
이에 관계꼬마는 울음을 터뜨리며 집으로 들어가게 되었다.
놓칠 수 있겠나! 집합은 곧바로 그의 집을 습격했다.

그런데, 이거 난감하게 됐다.-_-;
관계꼬마의 아버지는 '반사클로우져',
어머니는 '대칭클로우져',
누나는 '추이클로우져'였다.
어머니가 지원하자, 관계꼬마는 순식간에 둘로 불어났다.
하지만, 집합은 둘을 한꺼번에 삼키고 도로 토해냈다.
관계꼬마는 한명으로 돌아갔다.
(왜냐? 지금 집합은 '하나의 음식물'만 삼킨 상태다.
정의역의 원소가 딱 하나니, 반사나 대칭이나 추이나 다 똑같이 되어버린 것이었다.)

하는 수 없이, 꼬마네 가족은 원로를 찾아가게 된다.
곧바로 집합이 뒤쫓아 가보지만, 이미 늦었다.
원로의 집에는 무한분열기계가 있었고, 꼬마는 그곳에 잠들었기 때문이다.
집합이 이러지도 저러지도 못하는 사이에 출력창에서 꼬마(1,1)의 변형체가 나타났다.((1,1),(1,1))였던 것이었다. 곧이어 (((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))도 나타났다.
집합은 전에 했던 대로 둘을 삼키고 뱉었지만, 그들은 아직도 그대로 있었다.(1,1)≠((1,1),(1,1))≠(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))≠...이기 때문이다.곧이어 ((((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))),(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))))도 나타났다.
집합은 슬슬 겁먹기 시작했다.얼마 지나지 않으면 내부의 (1,1)가 ((1,1),(1,1))가 되는무한변형체가 나타날 것이기 때문이었다.결국 불안해진 집합은 마지막 남은 '1'을 뱉어내고 스스로 목숨을 끊었다(φ(공집합)이 되어 소멸되었던 것이다).
이리하야, 관계마을은 평화를 찾는 듯 했으나, 곧 혼란에 휩싸이고 만다.그렇다. 이 분열기계가 폭주하여 꼬마의 분열이 멈추지 않았던 것이었다(정의역에 있었던 1이 사라지고 그 대신 φ이 자리했기 때문이다. 그 꼬마는 이제 (φ,φ)가 되어버린 것이다). 하는 수 없이 그 원로는 정의의 해결사를 부르게 된다.

그 해결사는 과연 누가 될 것인가?