마지막올인! --


1. 1+1=2라고 학교에서 배움.
2. 계산기로 처보니 그렇게 나옴.
3. 상식적으로 생각해도 그럼.
4. 아빠한테 물어도 2라함
5. 엄마한테 물어도 2라함.
6. 동생한테 물어도 2라함.
7. 친구한테 물어도 2라함.
8. 컴퓨터 계산기로 치니 그렇게 나옴.
9. 선생님이 2라고함.
10. 책에도 나옴.
11. 1+1이 창문은 아니잔아!
12. 2아니면 머가되는데?
13. 손가락으로 세어봐도 2나옴.
14. 딱보면 2나옴.
15. 사과1개+사과1개=창문아냐?
16. 1+1=뭘가? 물으면 2라고 대답.
17. 하버드 대학 교햏들이2라고함.
18. 공학용 계산기로 1햏+1햏하면 2햏나옴.
19. 1χ+1χ=2χ다
20. 1㎞+1㎞=2㎞
21. 1+1=2를 증명해보자!
우선 이것을 증명하기 위해서는 그 출발점이 되는 공리 체계가 필요하다. "Principia Mathematica"에서 사용한 공리는 자연수에 대한 공리 체계인 "페아노 공리계(Peano Axioms)"이다.
이것은 이탈리아 수학자 주제페 페아노(Giuseppe Peano)가 만든 것으로, 다음의 다섯 가지 공리로 이루어져 있다. 말하자면, 이 공리계는 "자연수란 무엇인가"에 대한 답이라고 할 수 있다.
PA1: 1은 자연수이다.
PA2: 모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖는다.
PA3: 1은 어떤 자연수의 그 다음 수도 아니다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 1≠n'이다.
PA4: 두 자연수의 그 다음 수들이 같다면, 원래의 두 수는 같다. 즉, a'=b'이면 a=b이다.
PA5: 어떤 자연수들의 집합이 1을 포함하고, 그 집합의 모든 원소에 대해 그 다음 수를 포함하면, 그 집합은 자연수 전체의 집합이다.
공리가 "증명하지 않고 옳다고 인정하는 명제"인 것처럼 용어들 가운데도 "정의하지 않고 사용하는 용어"가 필요한데, 이것들을 "무정의 용어"라고 하며, 이 공리계에서는 "1", "그 다음 수"가 무정의 용어로 쓰인다.
우리가 알고 있는 것은 이 공리들과 몇 개의 무정의 용어들 뿐이므로, "1+1=2"를 증명하려면 무엇보다 먼저 "+"와 "2"가 정의되어야 한다.
일단 "2"를 정의하는 것은 간단하다. 2:=1', 즉 1의 그 다음 수로 정의하면 되니까. 여기서 기호 :=는 좌변이 우변과 같이 정의된다는 뜻으로 사용된다. 하는 김에 더 해 보면, 3:=2', 4:=3', 이런 식으로 모든 자연수에 이름을 붙일 수 있다.
다음으로 "+", 즉 "덧셈"을 정의하자. 덧셈을 정의하는 방법은 어렸을 때 손가락 셈하던 것을 흉내내면 된다.
예를 들어, "5+3=8"을 아이들이 계산하는 방법은 우선 손가락 다섯 개를 꼽고, 그 다음 손가락을 꼽는 과정을 세 번 반복하면 된다.
따라서, 두 자연수 a와 b에 대해 두 수의 덧셈 a+b는 우선 a를 놓고, 그 다음 수를 찾는 과정을 b번 반복한 것으로 정의한다. 이것을 기호로 나타내면,
a+b : a → a' → (a')' → ((a')')' → ... → (...((a')')'...)'이 된다.
그런데 이런 식으로 "b번 반복한다"는 것은 페아노 공리계에 없는 용어이므로, 이 과정 자체를 공리계에 맞는 용어들로 번역하여야 한다.
그러기 위해서는, "그 다음 수를 찾는 과정을 b-1 번 반복한 결과"의 그 다음 수를 찾는 것으로 하여
a+b := (a+(b-1))'
라는 재귀적 표현을 이용하면 되는데, 여기서 문제는 "b-1"이라는 뺄셈이다. 덧셈도 정의되지 않았는데 뺄셈이라니!
따라서, 뺄셈 대신 c'=b인 c를 사용하면 되는데, PA3에 의해 c'=1인 c는 존재하지 않으므로 이 경우는 따로 a+1 := a'으로 정의하고, b가 1이 아닌 경우는 PA2에 의해 c'=b인 c가 존재하고 PA4에 의해 이러한 c가 유일하므로, a+b = a+c' := (a+c)'으로 정의한다.
이 정의를 이용하여 우리는 덧셈을 자유롭게 할 수 있다. 앞서 들었던 예인 "5+3=8"의 경우, 3=2'이므로
5+3 = 5+2' = (5+2)'이고, 2=1'이므로 5+2 = 5+1' = (5+1)'이며, 정의에 의해 5+1=5'=6이므로 결국 5+3 = ((5')')' = (6')' = 7' = 8이 된다. 사실 우리가 원하는 "1+1=2"의 증명은 훨씬 쉽다. 정의에 의해 1+1 = 1'이고 2=1'이니까.


마지막으로 제가 하고싶은말...


씨뱅.. 지식인 뒤져서라도 웃기고 싶었다 -┌


추천좀...-.-