동영상 강의가 필요한 게 아니라면 MIT의 개론 수업을 추천 드립니다. 사용하는 텍스트가 개론 교재로 가장 많이 쓰이는 Rudin, Principle of Mathematical Analysis이고 lecture note, assignment, solution까지 잘 정리되어 있습니다. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-100c-real-analysis-fall-2012/
동영상 강의가 필요하다면 Harvey Mudd College MATH131 강의가 유튜브에 올라와 있습니다. https://www.youtube.com/watch?v=sqEyWLGvvdw&list=PL04BA7A9EB907EDAF
같이 듣는 건 힘들어요. introduction to analysis(해석 개론) 처음 들으면 set theory, basic topology 등 배워야 될 기초 소양이 많아요. 흔히 real analysis라는 타이틀을 가진 과목들은 거의 measure theory 과목인데, 수학적 소양이 좀 필요한(통상적으로 수학과 3~4학년) 과목입니다. 본문의 링크된 강의는 개론 수업입니다.
좋은 질문입니다. 2n/3가 자연수일 필요는 없습니다. 2n/3이 자연수가 아니라면 그보다 크지 않은 가장 큰 자연수 m에 대해, 1<=p<=2n/3 을 만족하는 p들의 곱이 4^m보다 작거나 같을테니까요. 물론 4^m은 4^{2n/3}보다 작을테구요 ㅎㅎ 답변하는 게 즐거울 정도로 호기심이 왕성하시네요.
일반적으로 소수를 표현할 수 있는 formula를 말씀하시는 것이라면 당연히 없습니다. 다만 소수가 튀어나오는 빈도와 경향에 관해서는 연구된 것이 많습니다. 가장 대표적으로 소수 정리 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem )라는 것이 있는데, 소수 분포의 asymptotic 경향을 알 수 있습니다. 이 정리도 증명법이 여러가지인데, 초등 수학만을 이용해서 증명하는 것이 가능합니다.
0 또는 1의 값을 가진다는 부분은 그냥 독자가 생각해 보라고 남겨 놓은 부분이에요. 이런 사소한 부분까지 계속 질문하는 습관은 수학할 때 좋은 습관입니다.
편의상 n/p^j를 x라고 부르고 []를 가우스 기호로 쓸게요. 그럼 급수 안의 식은 [2x] - 2[x]가 되겠죠? x의 소수 부분이 0.5 이상이라면 위 식은 1이 되고, 0.5 미만이라면 위 식은 0이 됩니다. 예를 들어 x가 3.6이라면 [7.2]-2[3.6] = 1이 되고 x가 2.3이라면 [4.6]-2[2.3] = 0이 되겠죠? 간단한 내용이라서 그냥 증명 없이 사용했습니다 ㅎㅎ
p^j > 2n 이라는 이야기는 다른 말로 j > log_p^{2n}과 같습니다. 따라서 람다(p,n) 이라는 숫자는 0또는 1을 대략 log_p^{2n} 번 만큼 (정확히는 그 정수 근사 만큼) 더한 수와 같습니다. 0이 아니라 모든 항이 1이라 하더라도 log_p^{2n}만큼 1을 더 했으면 log_p^{2n}보다 클 수는 없겠죠? 그래서 log_p^{2n}보다 작거나 같다는 식이 유도된 겁니다.
