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	번호	제목	댓글날짜	추천/비공감	삭제
	132	빛보다 빠른 물체가 있다면 ? [새창]	2011-07-19 21:26:51	0	삭제
		유아//암흑물질에 관하여 대충은 알고있었습니다만 제가 원하는 답변은 아닌거 같아요;; 어쨌든 감사드립니다.
	131	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-19 21:13:09	1	삭제
		수식이 헷갈려서 그런지 질문을 정확히 모르겠는데... potential를 고려하고, 다시 Ψ(x,t) = A e^(i(kx-wt+α))라 합시다. 그러면 말씀드렸다시피 (∂/∂t)Ψ(x,t) = -iwΨ, ∇^2 Ψ = -k^2 Ψ 이고 에너지 주파수 관계에서 EΨ=ih(∂/∂t)Ψ, de Broglie 물질파에서 p^2 Ψ = -h^2 ∇^2 Ψ 니까 결국 ih(∂/∂t)Ψ = EΨ = (T + V)Ψ = (p^2 /(2m) + V)Ψ = -h^2/(2m) ∇^2 Ψ + V Ψ = HΨ를 얻습니다. (T는 kinetic, V는 potential, H은 Hemiltonian) α는 그냥 phase의 평행이동인데 general solution과 무슨관계가 있죠?
	130	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-19 15:39:39	0	삭제
		유아// 편의상 포텐셜 V는 빼고 말하겠습니다(free particle를 생각). 흔히 쓰는 표기법을 빌려서 E : energy h : reduced Plank constant w : angular frequency p : momentum k : wave number 라고 합시다. 말씀드렸듯이 슈뢰딩거는 [p와 w에 무관한 wave equation]을 만들려고 하였습니다. 고전적 파동함수 Ψ(x,t) = a cos(kx-wt) + b sin(kx-wt) = A cos(kx-wt + α)는 k와 w에 의존하는데, 한편 광전효과로부터 유도된 p=hk로부터 결국 p와 w에 의존하는 방정식입니다. 한편 잘 아시다시피 삼각함수의 도함수는 주기성으로 인해 태생적으로 돌고돌죠. 또한 파동함수를 x로 두번미분(즉 Laplacian을 계산한다는 의미), t로 한번미분하면 w와 k^2이 튀어나오는데 (kinetic) energy form hw = E = p^2 /(2m) = (hk)^2/(2m)을 보면, 나눠버리는게 굉장히 자연스럽죠. 나누는 과정에서 phase의 일치를 위해 a,b를 잘 조절하면 공교롭게도 b=±ia를 만족해야함을 알 수 있습니다. 해서, 나누고 나면 원하는 슈뢰딩거 방정식을 얻습니다. 그런데 애초에 Ψ(x,t) = A e^(i(kx-wt))라 합시다. 그러면 단숨에 (∂/∂t)Ψ(x,t) = -iwΨ, ∇^2 Ψ = -k^2 Ψ 를 얻고 마찬가지로 hw = E = p^2 /(2m) = (hk)^2/(2m)를 통해 슈뢰딩거 방정식을 얻습니다. 어느부분이 논리적으로 용납이 안되시는 건가요?;; 허연//제가 정신이 없다보니 잘못썼네요... 허연님 위에 '나도사람일껄'님에게 답변한 것입니다 ㅠ 말씀하신것처럼 본문에서는 몇몇 허접한 정리들과 함께 ["모든"실수가 측정 가능한건 아니다(아닐것이다)]는것에 초점이 맞춰져있습니다. 유리수로 제한하여도 비슷한 글을 쓸 수 있습니다. Plank scale를 생각하였을 때 결국 (적어도 에너지는) Plank constant의 정수(혹은 자연수)배 정도만이 측정이 가능합니다. 그렇다면 정수만이 존재한다!라고 주장할 수 있는데 그럴 경우라도 저는 (정수) + (정수)i 또한 존재한다! 라고 하고 싶었던 것 같습니다...? 기껏 열심히 써놓고 마지막에 태도가 애매해지는것 같아 죄송합니다-_-;;; 정수만이 존재한다고 하면 할말 없다고 본문에서 써놓긴 했는데... 돌아보니 주제 자체가 모호한면이 있어서 근거들도 모호한 것 같고, 제 태도도 정확하지 않은 듯 합니다 -_ㅠ 분란조장글이 된 거 같아 좀 기분이 꿀꿀해지네용ㅠㅠ
	129	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-19 00:25:28	1	삭제
		1. 급하게 생각하다가 꼬여버려서 질문이 이상해져보였네요. 사실은 묻고싶은 의도는 이거였습니다. 1kg가 측정가능, 1m측정가능, 1s 측정가능이면 우선, 1s1s=1s^2은 측정가능? 1m / 1s^2 = 1m/s^2은 측정가능? 1kg1m/s^2 = 1N은 측정가능? 일련의 과정에서, 만약 a,b가 측정가능할때 a,b로 이루어진 사칙연산(아니면 곱셈과 나눗셈만)이 '측정가능한 것'으로 간주하고 있으신 것 같습니다. 그렇다면 1kg^100도 측정가능인데 이게 물리적인 의미가 있습니까? 만약 이것이 물리적 의미가 없다고 생각하신다면 반대로, 무엇인가 1N에 '측정가능한 것들의 사칙연산 외 다른 의미'를 부여하고 계신 것인데, 그게 제가 주장하는 '복소수에 물리량으로서 의미 부여하는 논리'와는 첨예하게 위배되는 논리인지 검토를 해주시기 바랍니다. 3. 음수는 인정 안하는 것에 가깝다면 할말이 없습니다... 결국 vector를 인정하지 않으시는 것이니까요...(물론 vector의 크기는 인정하시겠지요. 본문에서처럼 metric mapping의 치역으로서의 양의실수를 인정하실테니...) 제가 복소수도 물리량으로 인정해줘라!고 말하는 이면에 만약 실수 a,b를 물리량으로 인정할 때 (a,b)또한 물리량으로 인정할 수 있다면, a+bi를 인정하지 못할 이유가 없다는 것입니다. (a,b)보다 a+bi가 파동에 있어서는 훨씬 좋은 성질을 지니니까요. 2. 에 관해서는 2+i를 물리량으로 볼 수 있다는 주장인데, 앞서의 1,3의 내용과 겹치는 부분이 있어서 생략. (cf) 원래 식에 우연히 연산자를 치환해 구겨넣어서 '억지'라고 주장하시는 것 같은데, 왜 유도과정의 그러한 부정적 시각에서 일련이 억지가 되는지 잘 모르겠네요;; 운동에너지식, 물질파식 등으로부터 (특히 파동함수의 미분들로부터) 운동량과 에너지에 대해 independent한 'universal property'를 만들기 위해 복소수를 도입해 변형한 것인데, 자세히 보시면 애초에 파동함수를 Ae^(i(kx-wt))로 생각하면 한편으로 자연스러운 유도과정임을 확인하실 수 있을 것입니다... 이제는 지쳐서 못쓰겠네요ㅋㅋ 서로 그냥 관점이 다른 것 같으니 이쯤에서 win win 하는게어떨지^^;; 저도 많은걸 배웠습니다_
	128	빛보다 빠른 물체가 있다면 ? [새창]	2011-07-18 19:02:23	0	삭제
		양자// 허수가 관측값으로 무의미하다는 말씀을 아래 하셨으면서 필연적으로 허수질량을 가지는 타키온이 이미 존재한다고 하시다니 ㅠㅠ 사실 말씀이 잘 이해가 안되는데, 우리 우주에 (존재가 인정된 것 중,) 입자가 아닌 예에 무엇이 있을까요? 가르침좀 ㅋㅋ
	127	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 18:48:32	0	삭제
		허연//그러면 1차원 vector space만을 인정하고 2차원 이상은 인정하지 않으시는군요...; 보도블럭//단위길이 1이 정해졌다고 칩시다. 이 때 0.5도 관측하기가 힘들 것 같습니다. 정중앙이란 말은 0.5되는 지점이라는 뜻이기 때문에 순환논리 같습니다. 양자//아래 베스트게시판쪽의 제 리플에 관한 의견을 묻고싶습니다.(2011-07-18 03:45:46) http://todayhumor.co.kr/board/view.php?kind=member&ask_time=&search_table_name=&table=humorbest&no=371755&page=1&keyfield=&keyword=&mn=106468&nk=&ouscrap_keyword=&ouscrap_no=&s_no=371755&member_kind=humorbest 혹시 이상의 의견이 있으시면 위의 페이지로 가주시면 감사하겠습니다... 왔다갔다 너무 복잡해서요 ㅠ_ㅠ
	126	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 18:40:01	0	삭제
		1. 그렇다면 힘 1N이 관측 가능하다는 질문에 부정적이십니까? 1N을 관측하기 위해서는 1kg의 물체와 1m/s^2라는 가속도가 필요합니다. 여기에 F=ma라는 공식에 엮여 1N라는 값을 내는 것인데, 이 식을 부정한다면 결국 1N의 측정은 둘째치고 1N이 존재하는지조차 불분명하다는 얘기입니다.(다른 식이 있다고 하더라도 그 식도 참이라는 보장이 없으므로) 2. (2+i)^2를 예로 드셨는데, 거기에 켤레를 곱하는 것은 결국 2+i의 phase성분을 무시한 채 magnitude 성분을 관찰하자는 의도 아닙니까? 수학자들이 볼 때 (2+i)^2를 5로 계산하는 것은 안돼! 라고 말하는 사람은 없습니다. 물리학자들이 (2+i)^2을 2+i의 norm의 제곱을 의미하기로 약속한다는데 약속에 무슨 이의가 있겠습니까? 그것을 (2+i)★(2+i)라고 쓰든 (2+i)^2으로 쓰든 물리학자 마음대로 입니다. 구체적인 사항은 위의 리플을 참조. 3. 관측가능에 대해 말씀하셨는데, 본문에서 거리함수를 논한 바와 같이 님의 논리를 언뜻 보기에는 양의 실수 까지만 인정하시는 것으로 보입니다. 이것에 대한 제 생각은 그냥 본문의 참조... (cf) 슈뢰딩거 방정식에서 어떤 부분이 억지논리인가요?-ㅅ-;
	125	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 03:45:46	0	삭제
		'물리량' 혹은 '관측가능한 것'으로서의 허수단위 i에 대해 제 생각을 다시 한번 정리해서 적겠습니다. wave라는 놈을 기술하기 위해서는 magnitude와 phase(즉 크기와 위상?)가 필요한데, 이놈들이 따로 노는것과 동시에 복소수를 다리로 오묘한 관계에 있습니다. 물론 따로 노는 것들을 각각 두개의 real variable로 다루는 스킬이 있을 수 있는데, 사고를 유연하게 하면 하나의 complex variable로 볼 수 있고, 다루는데 훨씬 편하기도 합니다. real로 쓰면 두개짜리 Schrodinger Eq, 네개짜리 Maxwell Eq를 complex로 쓰면 각각 한개짜리, 두개짜리로 만들 수 있습니다. 그런데 이게 단순히 [실수가 진퉁인데, 계산 편의 및 보기에도 좋음을 위해 복소수를 끌어온다]는게 아니다는겁니다. 예를들어 magnitude가 '물리량으로' √2 이고 phase가 '물리량으로' π/4인데 이걸 한꺼번에 '물리량으로' 1+i라고 말하지 못할 이유가 어디있는가? 즉, √2cos(x+π/4)대신 √2exp(i(z+π/4))라고 하면 안될 이유가 뭐가 있느냐는 겁니다. 물론 y = √2cos(x+π/4)를 그리는 것이 w = √2exp(i(z+π/4))를 그리는 것 보다야 훨씬 쉽겠습니다만, 그건 단순히 그림그리기의 문제지 초끈이 날라다니는 시대에 이게 복소수로 물리량 부여를 거부할 이유까지 되나요? 이상입니다.
	124	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 03:43:17	0	삭제
		rt//과학적으로 소모적인 논쟁임은 명백하지만 오유에서 허수의 존재성에 대한 말이 있길래 적어보았는데, 리플까지 다합치면 말이 굉장히 길어졌네요. 논지는 정확히 nicksohn님의 말씀대로입니다...
	123	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 03:40:49	0	삭제
		Zest // 슈비루밥님께 질문을 드린건데 Zest님께서 답하셨네요^^; 3번에 대해서만 대답하자면, exp(iπ/2) = i (by Euler) 는 π/2(rad)에 대응될 수 있습니다. 예컨대 π/2회전을 4번 합성한 것은 다시 제자리로 돌아오는데, 수학적으로 i^4 = 1이 그것을 의미하게 됩니다.
	122	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 02:16:05	0	삭제
		슈비루밥//제가 필력이 너무 없는듯 싶네요...;; 말씀하신대로 예를들어 plane EM wave같은 경우 complex펑션의 실수부만 고려하는 것이 좋을 때가 있지만, 그것이 결국 general solutions을 말해주는 것은 아니지 않습니까? 또한 주장을 읽어보니, 아무래도 '물리량'이란 무엇인가 가 요점인 듯 싶은데, 그렇다면 슈비루밥님은 1. -1cm를 인정하십니까? → 음수를 인정하지 않으십니까? → 벡터와 스칼라의 구분을 인정하십니까? 2. 실수 1에 해당하는 물리량이 무엇입니까? 1cm입니까? 1g입니까? 3. 허수 i에 해당하는 물리량 중 하나를 제 위의 답글에서처럼 π/2(rad)로 주장하는 것에 대해 어떻게 생각하십니까?
	121	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 01:15:26	2	삭제
		nicksohn//뭐 실수가 살짝 비합리적(?)인 것은 Cantor 이후로는, 여기서 다 언급할 수 없을 정도로 굉장히- 많은 곳에서 발견됩니다...
	120	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-18 00:39:35	0	삭제
		베스트 감사합니다_
	119	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-17 23:13:59	0	삭제
		수학적으로 복소수가 중요하다는 것은 Fundamental Theorem of Algebra라는 거창한 정리를 굳이 언급 안하더라도 이론의 여지가 없다고 보겠습니다. Virtuoso님의 질문에 답변이 될 지 모르겠지만... 바로 윗 리플에서 '방정식이 관측 가능한가?' 라는 말은 무언가 와닿지 않을 수 있으므로(와닿기를 바라지만-_-;;) 구체적 물리량을 예로 들겠습니다. 우선, 사잇각 혹은 각도, 조금 고상한 다른 말로 바꾸면 파동의 phase가 관측 가능하다는 것은 누구도 태클을 걸지 않을 것입니다. 이 phase를 다루기 위해 sine과 cosine함수를 이용한다고 합시다. 그렇다면 Euler formula라 불리우는 e^(iz) = cos(z) + i sin(z)에서 z는 존재하는데, e^(iz)의 iz, 즉 i가 존재하지 않는다고 말하는 것이 자연스러운가? 조금 더 구체적으로 상황을 바꿔봅시다. mass 1kg에 1kg를 더하면 2kg입니다. 수학적으로, 1+1=2입니다. 한편 angle 90도에, 90도를 더하면 180도입니다. 수학적으로 90+90=180? 그러나, 물리학자의 대다수는 다음과 같은 form이 훨씬 더 자연스럽다고 할 것입니다... i * i = -1 분명히 phase 90도 혹은 π/2는 존재하는데 e^(iπ/2) = i가 존재하지 않는다고 하는 것은 굉장히 물리학적으로도 부자연스럽다고 생각합니다. 확실히 복소수의 곱은 물리학적으로 회전의 합성에 대응됩니다. 물론 완전히 책들을 처음부터 끝까지 전부 reformulate해서 90+90=180처럼 '굳이' 복소수의 곱 대신, 보다 복잡한 함수들을 동원하여 실수의 덧셈을 사용하기로 할 수도 있겠죠. 하지만 위에 -유아-님이 말씀하신 전기회로의 경우를 예로 들어도, AC voltage에 대해 phasor를 통한 complex representation을 거부하는 것은 좀 억지스러운 생각이 드는군요...
	118	[수학의 부스러기] 6. 허수는 가짜수이다! [새창]	2011-07-17 23:13:59	0	삭제
		수학적으로 복소수가 중요하다는 것은 Fundamental Theorem of Algebra라는 거창한 정리를 굳이 언급 안하더라도 이론의 여지가 없다고 보겠습니다. Virtuoso님의 질문에 답변이 될 지 모르겠지만... 바로 윗 리플에서 '방정식이 관측 가능한가?' 라는 말은 무언가 와닿지 않을 수 있으므로(와닿기를 바라지만-_-;;) 구체적 물리량을 예로 들겠습니다. 우선, 사잇각 혹은 각도, 조금 고상한 다른 말로 바꾸면 파동의 phase가 관측 가능하다는 것은 누구도 태클을 걸지 않을 것입니다. 이 phase를 다루기 위해 sine과 cosine함수를 이용한다고 합시다. 그렇다면 Euler formula라 불리우는 e^(iz) = cos(z) + i sin(z)에서 z는 존재하는데, e^(iz)의 iz, 즉 i가 존재하지 않는다고 말하는 것이 자연스러운가? 조금 더 구체적으로 상황을 바꿔봅시다. mass 1kg에 1kg를 더하면 2kg입니다. 수학적으로, 1+1=2입니다. 한편 angle 90도에, 90도를 더하면 180도입니다. 수학적으로 90+90=180? 그러나, 물리학자의 대다수는 다음과 같은 form이 훨씬 더 자연스럽다고 할 것입니다... i * i = -1 분명히 phase 90도 혹은 π/2는 존재하는데 e^(iπ/2) = i가 존재하지 않는다고 하는 것은 굉장히 물리학적으로도 부자연스럽다고 생각합니다. 확실히 복소수의 곱은 물리학적으로 회전의 합성에 대응됩니다. 물론 완전히 책들을 처음부터 끝까지 전부 reformulate해서 90+90=180처럼 '굳이' 복소수의 곱 대신, 보다 복잡한 함수들을 동원하여 실수의 덧셈을 사용하기로 할 수도 있겠죠. 하지만 위에 -유아-님이 말씀하신 전기회로의 경우를 예로 들어도, AC voltage에 대해 phasor를 통한 complex representation을 거부하는 것은 좀 억지스러운 생각이 드는군요...

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