사람들 사이에서 뜨거운 논란으로 남아 있는 수학 얘기를 하나 꼽으라 한다면 망설일 것 없이 '0.999999... = 1 ?' 을 꼽겠습니다. 어쩌면 유일하게 논란거리일 수도 있죠.
수학자들의 오랜 분석 끝에 0.999.. = 1 이 맞다는 사실이 밝혀진지 오래지만, 모르는 사람은 왜 그런지 이해하기 참 힘든 것도 사실입니다. 그분들의 주장은 흔히 '아무리 근접해간다 하더라도 매 순간마다 비교를 해보면 1보다 어쨌든 작으니 무한히 반복한다 해도 어쨌든 작은 것 아니냐?' 이런 논지입니다. 참 이렇게 말하면 반박하기도 뭐시기 합니다. 또 그렇게 생각해보면 맞는 것 같기도 하거든요. 하지만 그분들의 '무한한 반복'은 무한이라 말하기엔 너무나 유한스럽습니다. 그분들은 아마 1억 번 쯤. 아니면 1조 번 쯤 밖에 시행하지 않았을 겁니다. 하지만 무한한 반복은 우리의 상상을 초월하죠. 어쨌든 1보다 작은 그 크기만큼의 간격조차도 없앨 수 있는 강력한 힘을 가지고 있습니다. 왜 1과 같느냐?
즉 수학자들이 주장하고 싶은 바가 '0.999...=1' 이라면 그 분들이 주장하고 싶은 바는 '0.999...<1' 이라는 점이지요. 그럼 그 분들께 반대로 여쭙고 싶습니다.
"아니, 0.999... 가 1보다 작다면, 1보다 작은 그 수를 하나 꼽아보시죠."
그럼 그 분들은 아마
"음... 아마 0.99999999..(엄청 많은 9들)..99999999" 정도 되지 않겠습니까?"
그분들이 그렇게 말씀하실 때마다, 저는 그분들이 말한 수보다 더 큰 수를 항상 말할 수 있습니다. 그분들이 말한 수를 a라고 한다면, a와 1의 평균값을 말할 때(즉 (a+1)/2) 그 수는 분명 그들이 말한 1보다 작은 수보다 크면서도, 1은 아닙니다. 하지만 그 수를 가지고 1은 아니면서 0.999... 와 같은 수라고 말을 하기엔, 또 그 수와 1을 평균내면 앞에서와 같은 반복이 이루어집니다. 골치가 아파지죠. 무슨 말이냐 하면, 그분들이 0.999... 는 1보다 작다고 주장하는 순간, 그분들이 생각하는 1보다 작은 그 수가 결코 정해질 수 없다는 말입니다. 이는 모순이지요. 수학에서 실수는 반드시 수직선 상에 어떤 값을 취해야만 하니까요. 쉽게 말해, 그들이 'a는 0.999... 야!' 라고 말하는 것 자체가 거짓말이라는 사실입니다. 그들은 분명 1은 아니면서 0.999...인 가장 큰 수를 고랐는데, 알고보니 가장 큰 수가 아니였기 때문이죠. 그래서 0.999... 는 1이 될 수 밖에 없는 거지요. 그래서 0.9999... 는 1입니다.
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