※ 주의. 이 글은 수알못이 썼습니다. 기초적인 오류를 저지르고 있을 가능성이 있으므로 논지를 받아들이기 전에 최대한의 비판적인 시각이 필요합니다.

 

 

 

 

보통 페아노 공리계 또는 범자연수라 불리는, 자연수를 정의하기 위해 사용하는 가장 기본적인 정의 체계는 다음과 같다.

 

 

자연수 집합 N은 다음과 같은 성질을 만족한다.

 

1. N은 0이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다.

2. N의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 다음 수인 n+도 N의 원소이다.

3. 0을 다음 수로 갖는 원소는 N에 존재하지 않는다.

4. N의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면 두 원소는 같다.

5. N의 부분집합 S가 0 ∈ S 이며, 임의의 n ∈ S에 포함되는 임의의 원소 n에 대하여 n+ ∈ S 라면, S = N이다.

 

 

그리고 무한대(∞+) 를 다음과 같이 정의한다.

 

1. 자연수 집합 N은 집합의 모든 구간에서 다음 수인 n+ 가 정의되며, 이렇게 정의되는 상태 집합을 무한대+(∞+)로 정의한다.

 

 

정수 Z를 다음과 같이 정의한다.

 

1. Z는 0이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다.

2. Z의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 다음 수인 n+도 N의 원소이다.

3. Z의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면 두 원소는 같다.

4. Z의 임의의 원소 n은 그 이전수인 n-를 갖는다.

 

 

여기서 우리는 자연수, 정수 집합의 특성이 n과 n+로 정의되는 것을 알 수 있다.

즉, 정의역과 치역의 p→q 관계가 성립하며, 이는 정의된 집합 내적으로 그 조건을 충족한다.

 

그런데 이러한 정수 집합에 있어 특별한 원소 0 에 대한 정의는 집합 내적으로 충족되는 조건이 아닌, 집합 외적으로 주어지는 정의이다.

정의역과 치역을 p→q 라고 하면, 치역은 정수 집합의 원소 중 하나이고, 정의역은 정수 집합 외적인 초월계이다.

즉, 초월계 P 에서 정수 집합 Q로의 정의 관계가 성립한다.

 

정수 집합의 정의 상태를 그 자체적으로 만족시키기 위해 초월계 P로부터의 정의를 제거하면 다음과 같다.

 

 

무정의수 M을 다음과 같이 정의한다.

 

1. M의 어떤 원소도 특별하지 않다.

2. M의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 다음 수인 n+도 M의 원소이다.

3. M의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면 두 원소는 같다.

4. M의 임의의 원소 n은 그 이전수인 n-를 갖는다.

 

 

무한대를 다음과 같이 정의한다.

 

1. M의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 다음 수인 n+가 존재하는 상태(p→q로의 함수) 집합을 ∞+ 로 정의한다.

2. M의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 이전 수인 n-가 존재하는 상태 집합을 ∞- 로 정의한다.

3. ∞+ 와 ∞- 의 상태 집합은 동시에 존재할 수 없다.

4. ∞+ 의 정의역은 집합 M의 모든 원소이다. 따라서 ∞+ 의 상태는 집합 M 전체의 크기와 같다.

 

집합 M의 무한대의 상태를 다음과 같이 정의한다.

 

5. 집합 M의 ∞+ 상태를 +1스핀이라고 정의한다.

6. 집합 M의 ∞- 상태를 -1 스핀이라고 정의한다.

 

초월계 P에서 집합 M으로의 유한부분집합을 정의할 경우. 즉, 집합 M의 원소 하나를 0으로 정의한다거나 할 경우, +1 스핀 상태는 정의된 유한부분집합으로부터 시작되어야 하기에 집합 M에서 정의되는 무한집합의 치역의 범위는 절반이 된다. (단, 무한대의 성질에 의해 크기 자체는 이전과 동일하다.)

이 상태를 +1/2 스핀과 -1/2 스핀으로 정의한다.

 

 

 

앞의 정리를 종합한 결과는 다음과 같다.

 

1. (외부에서 정의되지 않는) 집합 내적으로 p→q 상태로 정의되는 무한집합이 존재할 경우, 이 무한집합의 상태는 +1 스핀과 -1 스핀으로 나타낼 수 있다. 이러한 집합을 스핀집합이라고 정의한다.

2. 외부 계에서 스핀집합의 일부 유한집합을 새롭게 정의(상호작용)할 경우, 스핀집합의 스핀은 절반인 1/2 가 된다.

즉, 외부 계와 상호작용하는 무한집합의 스핀은 1/2 가 된다.

 

모든 1/2 스핀 상태의 무한집합이 외부 계와 상호작용하는지는 알 수 없다.

광자와 전자의 스핀 상태가 위 정리와 유사한 것이 단순한 우연인지 아닌지도 알 수 없다.

 

 

 

추가1. 0.9999.... = 1의 증명.

 

1. 임의의 실수 n 이 0과 1 사이에 존재하며, 이 n이 무한히 1에 접근하고 있다고 가정한다.

2. 0과 1 사이의 무한집합인 실수 K는 위의 스핀정리에 의해 0에 의해 정의되고, 1을 정의하며 끝난다.

3. 무한히 1에 가까워지는 임의의 실수n은 마지막으로 1을 정의한다. (2에서 시작되어 1로 접근하는 실수 집합도 이와 같다)

4. 따라서 lim n → 1 은 1이다.

 

 

추가2. 1/∞ 의 정의.

 

나누기의 정의에 의해 0과 1 사이에 ±1/2 스핀이 들어가며, 이로 인해 크기는 0과 같고, 0에 의해 정의되는 실수가 된다.