들어가기에 앞서, 이 이야기를 소개하는 이유는

1） 문제 자체가 설명하는데 그렇게 어렵지 않기 때문이고

2） 문제를 제시한 인물이 수학계의 레전드격 인물이기 때문이고

3） 무엇보다도 그 난제를 아직 26살의 대학원생에 의해 해결되었기 때문임을 밝힙니다.

그리고 편의상 반말로 글 작성했는데 양해를 부탁드립니다.

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헝가리의 수학자 에르되시 팔은 특이한 기행과 천재성으로 수학계에서는 모두가 아는 인물이야.

 

에르되시 팔 (1913~1996)

 

참여한 논문수가 1500편이 되어서 수학계에서는 가장 많은 논문에 참여한 인물로 손꼽히지.

특이하게도 혼자 저술한 경우는 거의 없는데 그건 바로 에르되시의 특이한 생활 패턴 때문이야.

그는 한 학교에서 머물며 가르치길 거부했어. 대신 동료 수학자들의 집을 전전하며 문제를 같이 고민하고

문제가 해결되면 바로 '논문 집필은 자네에게 부탁하네'하고 다른 수학자의 집으로 찾아가 새로운 문제에 도전하고 했거든.

말하자면 수학계의 노마드족인 셈이지.

그가 1988년에 제시한 문제가 있어. Erdos primitive set conjecture라는 문제인데... 설명하면 다음과 같아.

자연수들의 집합을 떠올려봐. 유한집합이어도 되고, 무한집합이어도 돼.

예컨대 {2,3,5}라는 집합을 떠올려봐. 여기있는 원소들은 서로가 서로를 나누지 않아. 2는 3을, 2는 5를, 그리고 3은 5를 나누지 못하지.

이 경우 집합이 '소수성（Primitive）'을 띈다고 정의하자.

반면 {2,5,6}이라는 집합은 위의 집합과 다르게 서로가 서로를 나누는 원소가 있어. 2가 6을 나누지.

이 경우 집합은 '소수성'을 갖지 않는다고 정의해.

또다른 소수성을 띄는 집합의 예를 들어보자면 모든 소수들의 집합이 있어. P = {2,3,5,7,11,13,...}을 떠올려봐

소수는 정의상 1과 자기자신으로만 나뉘어야 하기 때문에, P 안에 있는 원소들은 서로가 서로를 나누지 못해.

또 다른 예로는 n이 어떤 자연수든 {n+1, n+2, ..., 2n} 도 소수성을 띄는 집합이야.

그럼 이런 소수성을 띄는 모든 집합들 사이에 어떤 공통점이 있지 않을까? 에르되시는 다음과 같은 대담한 추측을 세워.

f（x） = 1/（x ln x）라고 정의하고, A가 소수성을 띄는 집합이라고 가정하자.

그러면 A의 원소들 a를 f（a）를 취한 뒤 더해준 값은 항상 1.6366...이하여야 한다는 거야.

예컨대 A = {2,3,5}라면, A는 소수성을 띈다고 했지? 1/（2 ln 2） + 1/（3 ln 3） + 1/（5 ln 5） = 1.1490...으로 위에 제시된 값보다 작아.

물론 A야 유한집합이니까 값이 작을수야 있지 싶지만, 실제로 소수성을 띄는 무한 집합도 저런 식으로 계산하면 1.6366.. 이하로 나와.

참고로 저 1.6366...은 모든 소수들 p를 1/（p ln p）를 취한 뒤 더한 값이야.

즉, 에르되시의 추측을 간단하게 요약하면.

1） 소수성을 띄는 집합은 그것이 유한집합이든 무한집합이든 어떤 공통점이 있다.

2） 그것은 각 원소들에 f（x） = 1/（x ln x）라는 함수를 취한 뒤 더했을 때 그것들의 합이 몇 이하여야 한다는 성질이다.

3） 그리고 그 값이 가장 최댓값이 되는 집합은 소수들로 이뤄진 집합이다.

4） 그러므로 집합의 소수성은 소수와 무언가 깊은 관련이 있을 것이다.

그리고 그로부터 정확히 34년이 지난 2022년, 마침내 에르되시의 추측이 해결돼.

그것도 고작 26살이란 어린 나이의 옥스포드 수학과 대학원생에 의해.

Jared Lichtman이란 친구는 고작 26살인데, 참여한 논문은 17편, 그 중 7편은 단독저자더라고.

 

Jared Duker Lichtman

 

이쪽 분야를 조합론적 정수론이라고 부르는데 이 쪽 분야에 젊은 슈퍼스타가 뿅 하고 나타난 셈이지.

조금 섣부른 판단일 수는 있겠지만, 어쩌면 나중에 필즈상 후보에도 오르지 않을까.

아직은 조금 커리어가 부족할 순 있지만, 앞으로 3번 더 기회가 있는 셈이니까.

（필즈상은 만 40세 이하에게만 수여돼. 올 여름에 시상식이 있으니까, 앞으로 3번 더 이 친구가 30살, 34살, 38살일 때 기회가 있는 셈이지）

그렇게 최근의 수학 뉴스를 소개해보고 싶었어. （사실 난제가 해결된 건 3년 전이지만, 이 기사를 오늘 아침에 접해서 나도 이제야 알았네）

그럼 모두들 수학 많이 사랑해줘

 

 

 

 

 

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