기하학적으로 동일한 7개의 도형으로 만들어진 다면체는 존재하지 않습니다.
대신, 동일한 14개의 도형으로 만들어진 다면체는 존해합니다.
그래서, 같은 숫자를 2번씩 써서 주사위를 만들면, 지극히 공정한 d7 주사위를 만들 수 있습니다.
저런게 없다면 그냥 8면체 주사위를 굴리고, 8이 나오면 다시 굴려도 됩니다.
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그럼 수학적으로 정말 7개의 면만 가진 공정한 주사위를 만드는 것이 가능할까요?
상용 제품중에 이렇게 5각 기둥으로 된 d7 주사위를 판매합니다. 물론 이는 수학적으로 공정하지 않다는 코멘트를 달아 놓습니다.
저 주사위를 보면 5각기둥의 옆면에 1~5를 적고, 위와 아래에는 6과 7이 적혀 있습니다. (정확히는 숫자를 읽기 편하게 하기 위해서 모서리에 1~5가 적혀 있죠)
각각의 숫자가 나올 확률을 p(n) 이라고 할때
p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) 이고, p(6) = p(7) 이란 점은 명확합니다.
이제 p(1) 과 p(7) 의 관계에 대해서 알아 보겠습니다.
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첫번째 그림처럼 오각기둥의 높이를 아주 낮게 만들어 보겠습니다. 동전처럼 얇다고 생각해도 좋습니다.
직관적으로 봐도 위나 아래가 나올 가능성이 훨씬 높습니다. 즉, p(7) > p(1) 일것입니다.
세번째 그림처럼 오각기둥의 높이를 아주 높에 만들어 보겠습니다. 오각형 연필을 생각하면 될듯 싶습니다.
이 경우라면, 직관적으로 옆면이 나올 확률이 위나 아래가 나올 확률 보다 당연히 높습니다. 즉, p(1) < p(7) 입니다.
이제 함수를 하나 만들겠습니다. 오각기둥의 높이를 x 라고 할때, 이 주사위에서 p(7) 과 p(1) 의 차이값을 f(x) 라고 하겠습니다.
f(x) = p(7) - p(1) of dice_with_height_x
x 가 아주 작은 값일 때는 f(x) > 0 입니다. 반대로 x 가 충분히 크다면 f(x) < 0 입니다. 그리고, x 의 변화에 따라 f(x) 는 연속적으로 변화할 것입니다.
그렇다면, '중간값의 정리'에 의해서 f(x) = 0 이 되는 (즉, p(1) = p(7) 이 되는) 적절한 x 가 적어도 하나 반드시 존재합니다.
즉, 공정한 7면 주사위는 반드시 존재합니다.
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PS> 5차 방정식의 근이 존재한다는 사실 (대수학의 기본 정리)를 안다고 해서, 실제로 그 근을 구할 수 있는 것은 아닙니다.
공정한 7면 주사위의 존재성이 확인되었다고 해도, 실제로 만드는 것은 별개의 문제겠죠.
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