어떤 랜덤 변수 X 와, 측정값 Z 가 있다고 합시다. 잘 알려진 사실로, 조건부 기대값 (Conditional Expectation) 은 최소값 문제인
min E|X-Y|^2 , Y∈σ(Z) 의 해 임이 알려져 있지요.

Kim 의 추측 (ㅋㅋㅋ)
1) X, Z 가 가우시안 분포를 따를 경우, Y = E[X|σ(Z)] 는
min var(X^2 - Y^2), Y∈σ(Z) 의 해 (중 하나, -Y가 동등하므로) 이다.

2) 정규 분포가 아닌 임의의 랜덤 변수 X∈(Ω,F,P) 와 Y∈F'⊂F 에 대해서도 성립할까?


Y까지 가우시안일 경우, 일단 1) 은 성립하는 것은 맞는 것 같습니다. 일반적인 경우 2)는 사실 잘 모르겠네요. 증명 테크닉을 어떻게 잡는 게 좋을 지 잘 모르겠습니다.
가장 간단한 케이스는 X, W 가 모두 가우시안 스칼라 값이고, Z = X + W, Y = aZ + b 로 한정하면 그냥 쌩노가다로 증명이 됩니다. 추측 1) 이 성립할 거라 보는 이유이기도 하지요.

괜찮은 증명 테크닉이 뭐가 있을까요? 선형합? 단순확률변수? L2 공간에서의 직교성? 흠...