암살교실에 등장한 중학교 3학년 2학기 기말 마지막 수학문제입니다.

 "오른쪽 도면처럼, 한 변 a의 입방체가 주기적으로 나열되어 그 각 꼭짓점과 중심에 원자가 위치하는 결정 구조를 체심 입방 격자 구조라고 한다. Na이나 K 등 알칼리성 금속의 대다수는 체심 입방 격자 구조를 취한다. 체심 입방 격자 구조에서, 한 원자 A0 에 주목했을 때 공간 안의 모든 점들 중 다른 원자보다 A0에 가까운 점의 집합이 만드는 영역을 D0라고 하자. 이 때 D0의 영역을 구하라."

전교 1, 2위를 다투던 학생이 이 문제에서 갈렸는데요..
그 중 전교 1위를 한 학생의 풀이를 보면..

우선 정육면체 꼭지점에 존재하는 원자를 중심으로 동일한 크기의 구를 설정하고(즉, 반지름이 a/2인 구..)
한 변이 a인 정육면체 안으로 8등분 하여서 잘라 넣고, 그 나머지 부피를 구하였습니다.

문제 풀이 접근법은 참신하다고 생각하였는데요..

문제는.. 제가 수학이 자신 없어서인지..
구 하나의 부피 = 정육면체 안쪽의 나머지 부피
라고 전제한 부분이 아직도 이해가 가지 않아서요.

어째서 이런 전제가 가능한건지 알려주실 수 있나요?

단순하게, 정육면체 부피 - 구 하나의 부피를 한다고 해도..
정답은 a 세제곱에 (6-pi)/6을 곱한 것일텐데 말이에요..
정육면체의 절반은 아닌 것 같은데....