Carlyle Circle로 정십칠각형 작도하기

Carlyle Circle에 대한 기초적인 내용(+정오각형 작도법)을 담은 글이니 먼저 읽고 오셨으면 합니다.

LaTeX로 올리려고 생각해봤으나...

보기 너무 불편한 거 같아서 그냥 수식이 좀 이상해도 여기 바로 쓰기로 했습니다.

============================

정오각형과 마찬가지로, 정십칠각형은 방정식

의 근을 꼭짓점으로 하는 도형입니다.

당연히 한 근은 1이고, 나머지 근 16개는

의 근이겠네요. 그래서... 이걸... 작도해야 하는데... 작도가 되긴 되나요?

아시다시피 가우스가 그걸 증명했죠. 저 근 16개를 작도할 수 있다고. 세상에는 훨씬 쉬운 정십칠각형 작도법이 있지만 가우스가 증명한 방식을 그대로 써서 Carlyle Circle로 정십칠각형을 작도해 보겠습니다.

일단 1에서 반시계 방향으로 제일 첫 번째 꼭짓점, 그러니까

를

라고 합시다. 그리고

라고 하면 두 수의 합은 -1이고 곱은 (많이 열심히) 계산하면 -4가 나옵니다.

A0와 A1을 저렇게 잡은 이유는 합과 곱이 정수가 되어야 Carlyle Circle을 써먹을 수 있기 때문입니다.

아, 그리고 A0와 A1중에 뭐가 더 큰지도 알아야 하는데 자세한 방법은 생략합니다. A0가 더 큽니다.

(그림 그려서 살펴보면 직관적으로 알 수 있습니다.)

그래서 일단 A0, A1만 작도해봅시다.

1i와 -1-4i를 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그려야 하는데 그냥 -0.5-1.5i를 찾아서 그걸 중심으로 1i를 지나게 원을 그리면 됩니다.

이제 또 몇가지 수를 정의해봅시다.

그러면

이 되어 똑같이 Carlyle Circle로 작도 가능합니다.

거의 다 왔습니다. 마지막으로,

를 정의합시다. (나머지 C1, C2 등은 생략합니다. 필요가 없거든요.)

이므로 얘들도 작도하면

ω의 실수부가 0.5 C0니까 정십칠각형의 한 꼭짓점을 작도할 수 있습니다.

그리고 나머지 꼭짓점을 그리면 되죠,

완성입니다!

어떻게 끝내야 할진 모르겠는데... 히오스라도 넣어야 하나요?