과학 게시판에는 처음 글을 남기네요.
몬티홀 문제는 많은 사람들이 헷갈려하는 문제 중 하나입니다.
영화 "21"에서도 등장해 화제가 되었는데요.
제가 자주가는 사이트에 이에 대한 이야기가 나와 예전에 배운거 복습도 해볼겸 한번 써봤습니다.
세개의 문 (A, B, C) 이 있고 이 중 한군데에 엄청난 상품이 있습니다.
참가자는 처음에 문 하나를 고릅니다. (A)
사회자가 세 문 중 하나를 골라 해당 문 뒤에 상품이 없음을 보여줍니다. (B)
참가자는 사회자가 문을 연 것을 보고 자신의 처음 선택을 고수할지 다른 문을 선택할지를 결정해야합니다. (A or C)
참가자는 자신의 선택을 고수하는 것이 좋을까요 아니면 다른 문을 선택하는 것이 좋을까요?
얼핏보면 A를 선택하나 C를 선택하나 상품을 획득할 확률은 1/2로 같아 보입니다.
하지만 참가자는 자신의 선택을 C로 바꿀 때 상품을 획득할 확률이 두 배로 늘어납니다.
Monty Hall Problem에 접근할때 이해해야할 가장 중요한 컨셉은 Bayes’ Theorem 입니다.
쉽게 설명하면 B가 선택되었을때 A일 확률을 P(A|B)라고 하면 P(A|B) = P(A)*P(B|A)/P(B) 가 된다는 것이지요.
Monty Hall Problem에서 참가자가 처음 선택할때 3개의 문 뒤에 상품 하나가 있을 확률은 각각
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 입니다.
출연자가 A를 고르고 사회자가 B에 상품이 없다는 것을 보여줄때
출연자는 자신의 선택을 C로 바꾸는게 더 좋을까요?
얼핏 보면 A를 계속 고수하나 C로 바꾸나 다른점이 없어 보일 수도 있습니다.
하지만 수학적인 증명이나 실험 등을 통해 (*1) C로 바꾸는 것이 A를 고수하는것 보다
상품을 탈 확률이 2배 더 많다는 것을 볼 수 있습니다.
**이는 처음 참가자의 선택과 실제 상품이 있는 곳이 사회자의 선택에 영향을 끼치기 때문이죠. **
P(O) = (사회자가 B를 열 확률) 이라고 하고,
참가자가 최종적으로 A를 고수했을 때 상품을 얻을 확률을 P(A|O) 라고 하고,
C로 바꿨을 때 상품을 얻을 확률을 P(C|O) 라고 할 때,
[P(A|O) = P(C|O) 일까요?] 가 이 문제의 핵심일 것입니다.
하지만 우리는 게임의 특성상 이 두 확률을 직접적으로 구할 수 없기 때문에
Bayes’ Theorem을 통해 P(A|O)와 P(C|O)를 계산할 수 있습니다.
P(O|A) = A에 상품이 있고 사회자가 B를 열 확률 = ½ (사회자는 B나 C 둘 다 열 수 있다.)
P(O|B) = B에 상품이 있고 사회자가 B를 열 확률 = 0
P(O|C) = C에 상품이 있고 사회자가 B를 열 확률 = 1 (참가자가 A를 골랐으므로 A를 열 수 없다.)
그리고 전체적으로 사회자가 B를 열 확률인 P(O) 는 앞의 P(A),P(B), P(C)의 확률을 위의 케이스에 곱한 확률인
P(O) = 1/3*1/2 + 1/3*0 + 1/3*1 = ½ 가 됩니다.
이제 A를 고수할 경우 상을 탈 확률 P(A|O)과 C로 바꿀 때의 확률 P(C|O)를 계산해봅시다.
A를 고수할 경우 상을 탈 확률은 Bayes’ Theorem에 의해
P(A|O) = P(A)*P(O|A)/P(O) = 1/3*1/2*[(1/2)^-1] = 1/3 이 됩니다.
C로 바꿀 경우 상을 탈 확률은
P(C|O) = P(C)*P(O|C)/P(O) = 1/3*1*[(1/2)^-1] = 2/3 로 [A를 고수할 때의 2배가 됩니다.]
이 얼핏 말장난으로 헷갈릴 수 있는 문제를 이해하는 핵심은
사회자가 [참가자가 고른 문을 열어서 가능성을 소거시킬 수 없음]이라는
사회자의 중간 선택의 한계점에 있는 것입니다.
출처1: web.mit.edu/rsi/www/2013/files/MiniSamples/MontyHall/montymain.pdf
출처2: www.cs.dartmouth.edu/~afra/goodies/monty.pdf
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