광속에 가까운 속도로 날아가는 물체의 질량은 왜 커질까요??라는 제목의 글이 올라왔는데 댓글로 답변을 하자니 길어질거 같아 글로 올립니다.

 

해당 내용을 확실히 이해하기 위해서는 특수상대성이론의 처음부터 따라가며 이해를 해야합니다.

 

먼저 특수상대성 이론의 개요를 짚고 넘어갑시다.

특수 상대성 이론은 특수한 상황에서 적용가능한 이론이기 때문에 '특수'라는 말이 붙은 것으로 일반 상대성 이론 보다 하위 호환되는 이론입니다. 1905년에 아인슈타인이 쓴 세편의 논문을 통해 발표되었으며 일반 상대성이론이 나오기 10년 전에 나온 이론이죠. 이 이론에서 말하는 특수한 상황이란 등속운동을 하는 관성계를 의미하며 이러한 관성계에서의 역학을 다루고 있습니다. 특히 특수 상대성 이론에서는 종래의 시간과 공간에 대한 개념을 탈피한 시공간이라는 개념을 도입하였습니다.

 

특수상대성이론은 두가지를 대전제로 하여 논리를 풀어갑니다.

첫번째는 상대성 원리입니다. '역학뿐 아니라 전자기학, 광학등 모든 관성계에서 모든 물리법칙은 동일한 형태를 갖는다.' 라는 것인데 최초의 상대성 원리는 갈릴레이로부터 나왔습니다. 그러나 아인슈타인은 기존의 갈릴레이 변환을 전자기학이나 광학에 적용하면 관성계에 따라 다른 형태가 된다는 문제가 있으므로 갈릴레이 변환은 잘못 되었다고 생각한 것입니다.

두번째는 광속불변의 법칙입니다. 갈릴레이의 상대론에 따르면 빛에 대해 움직이는 관찰자가 빛을 관찰하면 빛의 속도가 다르게 관찰되어야합니다. 하지만 실제로 관측한 결과는 그렇지 않았습니다. 특수 상대성 이론은 이 발견을 진리로 하여 연역적인 추론을 한 결과입니다.
따라서 광속불변의 법칙을 상대론으로 설명하라는 것은 이치에 맞지 않습니다. 상대론 자체가 광속불변의 법칙을 발판으로 세워진 것이기 때문이죠. 단지 실험적 결과가 그렇기 때문에 이를 바탕으로 이론을 세우는 것입니다.

 

자 그럼 갈릴레이 변환의 오류가 시사하는 바는 무엇일까요? 빛의 경우를 다시 보면 상대속도에 대한 오류가 발생한 상황입니다. 속도는 시간에 따른 위치의 변화량으로 정의된 것이기 때문에 기존의 시간과 공간에 대한 통념이 잘못되었다는 것을 강하게 시사하는 것입니다.

 

시간에 대한 통념이 잘못되었다는 것을 보이기 위해 동시성의 붕괴현상에 대해 설명하고 넘어가겠습니다. 동시성의 붕괴란 관찰자의 계가 달라지면 동시가 달라진다는 것입니다. 광속불변의 법칙을 통해 동시성 붕괴를 확인해볼 수 있는데요. 열차가 한대 있다고 상상해봅시다. 열차의 어떤 칸의 양 끝에 실험자가 한명씩 있고 그 칸의 중앙에는 전구와 한명의 관찰자가 있다고 합시다. 기차는 빛의 속도에 견줄만큼 빠르게 달리고 있습니다(등속운동). 열차 밖에는 한명의 관찰자가 있습니다. 이때 전구가 어느 순간 빛을 발합니다. 열차 양 끝의 실험자는 빛을 본 순간 손을 들기로 약속하였습니다.(두 실험자의 반응속도는 동일하다고 가정) 전구와 함께 있는 관찰자의 입장에서는 빛이 두명의 실험자에게 나아간 거리가 동일합니다. 따라서 빛이 두명의 실험자에게 도달하기까지의 시간은 동일하며 두명의 실험자가 동시에 손을 드는것을 보게 될 것입니다. 이번엔 똑같은 사건을 열차 밖의 관찰자가 다시 기술한다고 해봅시다. 전구가 빛을 발하고 나서도 열차는 여전히 앞으로 달리고 있을 것입니다. 열차 앞쪽의 실험자는 빛에서 멀어지는 방향으로 등속운동을 하게되고 열차 뒤쪽의 실험자는 빛에 가까워지는 방향으로 등속운동을 하게됩니다. 빛이 열차 앞쪽의 실험자에게 도달하기까지 이동한 거리는 빛이 열차 뒤쪽의 실험자에게 도달하기까지의 이동거리보다 멉니다. 하지만 광속은 관찰자의 속도에 관계없이 일정하므로 빛이 열차 앞쪽의 실험자에게 도달하기까지의 시간이 뒤쪽의 실험자의 경우보다 더 오래걸린다는것을 알 수 있습니다. 따라서 열차 뒤쪽의 실험자가 먼저 손을 들고 그 뒤에 열차 앞쪽의 실험자가 손을 들게됩니다. 어떻습니까? 똑같은 사건인데 관찰자의 속도에 따라 동시인 사건이 달라졌죠. 이로써 동시성이라는 개념도 상대적이라는것을 알게 되었습니다.

 

그럼 실제로 속도와 시간이 어떠한 상관관계가 있는지 알아보기 위해 또 다른 사고실험을 해봅시다. 굉장히 빠른 열차 위에 높이가 L인 광자시계가 있습니다. (광자시계는 광속이 불변한다는 성질을 이용해 빛을 양쪽에서 계속 반사시켜 빛이 왕복운동한 횟수를 통해 시간을 재는 시계이다.) 열차는 V(V<c)의 속력으로 달리고 있습니다. 열차 안과 밖에는 각각 한명의 관찰자가 있습니다. 각 관찰자는 빛이 광자시계의 바닥에서 발사되어 광자시계의 천정까지 도달하는데 걸리는 시간간격을 측정할 것입니다. 열차 외부의 관찰자가 본 열차 내부의 관찰자가 측정한 시간간격 t=L/c(광속)입니다. 열차 내부에서는 빛이 반듯이 위로 움직일 것이기 때문이죠. 반면 열차 밖에서 보면 광자시계의 바닥에서 빛이 발사된 후 빛은 사선방향으로 움직입니다. 빛이 광자시계의 천정에 도달하는데 걸린시간이 T라고 하면 사선의 길이는 몇일까요? cT입니다. 또한 루트(L^2 + (VT)^2)이기도 합니다. 후자는 피타고라스의 정리에 의한 것이죠. 빛이 도달하기까지 광자시계의 천정은 VT만큼 이동하기때문에 (cT)^2 = L^2 + (VT)^2이라는 방정식을 세울 수 있습니다. 이 식에서 L에 ct를 대입하고 t에 대해서 정리하면 t=T루트(1-V^2/c^2)입니다. L=ct는 위에서 구했던 t=L/c에서 나온거구요. 그럼 t=T루트(1-V^2/c^2)라는 식의 의미를 따져봅시다. t는 열차 내부에서 측정한 시간간격이고 T는 열차 외부에서 측정한 시간간격입니다. 열차 내부와 열차 외부의 속력 차는 V입니다. 루트 안의 값은 항상 1보다 작으므로 t<T입니다. 똑같은 사건인데 열차 내부에서 흐른시간은 열차 외부에서 흐른시간보다 적습니다. 즉 열차 내부의 시간이 느리게 흘러가는것입니다. 식을 보면 V가 클수록 t와 T의 차이가 더 커진다는 것을 알 수 있습니다. 우리가 일상적으로 접하는 속도는 광속c에 한참 못 미치기때문에 이러한 시간 수축 효과를 못 느끼고 사는것이죠.
그런데 등속운동은 상대적입니다. 위의 전개는 열차 외부의 관찰자 관점에서 기술한 것이고 반대로 열차 내의 관찰자 입장에서는 열차가 정지해 있었고 열차 바깥의 풍경이 V라는 속력으로 등속운동을 한 상황이라고 할 수 있습니다. 여기서 똑같은 방식의 전개에 따라 열차(또는 열차 내부)가 본 열차외부의 시간은 느리게 흘러간다라고 할 수 있습니다. 역설적으로 느껴지겠지만 두 관점 모두 옳습니다. 특수상대성이론의 관점으로 사건을 기술할때는 일관된 관성계에서 기술해야 합니다. 서로 다른 관성계에서 계산한 값들을 비교하는 것은 물리적으로 의미가 없는 것입니다.

 

지금까지 특수상대성이론의 관점에서 시간의 특성을 탐구해보았습니다. 이번엔 공간의 특성을 알아보도록 합시다. 또 사고실험을 해봅니다. B는 A가 있던 곳으로부터 1광년 떨어진 어떤 행성으로 우주선을 타고 나아간다고 가정해보죠. 우주선의 속력은 A의 관성계를 기준으로 0.8c라고 합니다. A의 입장에서 기술하면 우주선은 A관성계의 시간으로 1.25년이 흐르면 그 행성에 도달할 것입니다. 그러나 A가 본 B관성계의 시간은 더 느리게 흘러가기 때문에 B의 시간이 1.25년이 지나기 전에 B가 그 행성에 도달할 것입니다. 모순이죠. 그렇다면 B의 입장에서 기술하면 어떻게 되어야할까요? A관성계를 기준으로 0.8c의 속력으로 달렸는데 1.25년을 채우기 전에 그 행성에 도달했습니다. 그렇다면 B의 관성계에서는 A와 그 행성과의 거리가 1광년 미만이었다는 얘기가 됩니다. 이 동일한 사건을 기술하는데 A의 관성계에서는 시간이 t(=1.25년)만큼 걸리고 우주선이 이동한 거리는 l(=1광년)인 반면 B의 관성계에서는 시간이 t*루트(1-V^2/c^2)(=0.75년)만큼 걸렸으므로 우주선이 이동한 거리도 l*루트(1-V^2/c^2)(=0.6광년)가 되어야 맞아떨어집니다. 속도방향으로 공간이 수축한 것이지요. 추가적으로 한 가지 더 얘기해드리자면 A가 본 우주선은 속도방향으로 홀쭉해집니다. A의 관성계에서 우주선만 0.8c의 속력으로 움직이는 것이기 때문에 그 부분만 공간이 수축하는 것입니다.

 

그럼 어떤 두 사건 사이의 간격을 나타내는 절대적인 기준은 없는 것일까요? 그렇지 않습니다. 또다른 사고실험을 해봅시다. S0, S1, S2 세가지 관성계가 있다고 가정하죠. S1과 S2는 각각 S0에 대해 x축의 양의 방향으로 등속운동을 하고 있고 속력은 다르다고 합니다. S0의 원점에서 빛을 y축의 양의 방향로 발사하는 사건이 E1이고 그 빛이 y=h인 지점에 도달하는 사건이 E2라고 합시다. S0에서 두 사건 사이의 시간 간격이 t라고 하면 높이 h는 ct입니다. 한편, S1에서 두 사건 사이의 시간 간격은 t1이라고 합시다. 그리고 그 시간 동안 x=x1인 지점까지 이동했다고 합시다. 그럼 높이 h는 루트((ct1)^2-x1^2)입니다. 한편, S2에서는 두 사건 사이의 시간 간격이 t2라고 합시다. 그리고 그 시간 동안 x=x2인 지점까지 이동했다고 하죠. 그럼 높이 h는 루트((ct2)^2-x2^2)입니다. 높이 h를 구한 이유는 세 관성계가 y축방향에 대해서는 상대운동이 없으므로 h는 어느 관성계에서든지 동일할 것이기 때문입니다. 즉, ct = 루트((ct1)^2-x1^2) = 루트((ct2)^2-x2^2)라는 것입니다. 보기 좋게 각 변을 제곱하면 (ct)^2 = (ct1)^2-x1^2 = (ct2)^2-x2^2이며 S0의 경우 x축 위치를 x0라고 하면 (ct)^2-x0^2이라고 쓸 수도 있습니다. x0는 0이기 때문이죠. 이게 바로 두 사건 사이의 불변량이며 우리가 원하는 객관적인 간격입니다. x축으로만 움직이는 1차원 운동에서 설명을 했지만 3차원 축으로 확장하면 (c델타t)^2-델타x^2-델타y^2-델타z^2가 불변량이라고 할 수 있습니다.

 

이제 로렌츠 변환을 유도하기 위한 준비가 끝났습니다. 초장에서 얘기한 바와 같이 갈릴레이 변환식은 잘못되었으며 수정될 필요가 있습니다. 상대성 이론에서 다른 관성계의 속도를 변환하는 식은 로렌츠 변환식이라고 합니다. 이 로렌츠 변환식은 시간과 길이의 수축 현상을 통해 유도할 수 있습니다. 어김없이 사고실험을 해보죠. A관성계와 B관성계가 있고 t=t'=0일때 두 관성계의 원점은 동일하고 B관성계는 A관성계를 기준으로 +x방향으로 v속도로 등속운동한다고 합니다. A관성계에서 시간이 t일때 x좌표가 x인 곳에서 빛이 번쩍였다고 합시다. 이때 B관성계에서 빛이 번쩍인 위치를 알아봅시다. 먼저 시간이 t일때 B의 원점은 vt에 있습니다. 따라서 빛이 번쩍인 위치와 B의 원점 사이의 거리는 x-vt입니다. 하지만 이 값은 A관성계에서의 값이고 B관성계에서 봤을때 이 거리는 수축된 길이입니다. B관성계에서는 다시 확장시키면 되겠죠. 따라서 x'=(x-vt)/루트(1-v^2/c^2)가 됩니다. 식이 복잡하므로 감마 = 1/루트(1-v^2/c^2)라고 하고 다시쓰면 x'=감마(x-vt)가 됩니다. 이번엔 반대로 B관성계의 물리량으로 A관성계의 빛이 번쩍인 좌표를 기술해보도록 합시다. B관성계의 시간이 t'일때 x축 좌표가 x'인 곳에서 빛이 번쩍였다고 합시다. 이때 A관성계 원점의 위치는 -vt'이므로 빛이 번쩍인 곳과 A관성계 원점 사이의 거리는 x'+vt'입니다. 하지만 이것 역시 수축되어있는 길이이므로 A관성계에서는 다시 확장되어 x=감마(x'+vt')이 됩니다. 여기까지 두가지 식을 유도하였습니다. x'=감마(x-vt)와 x=감마(x'+vt')이 그것이죠.  v/c를 베타라고하면 x'=감마(x-c베타t), x=감마(x'+c베타t')이 됩니다. 두번째 식을 ct'에 대해 정리하면 (ct'=x/베타감마-x'/베타)입니다. 여기에 첫번째 식을 대입하면 ct' = x/베타감마 - 감마x/베타 + 감마ct = (감마x/베타)(1/감마^2-1) + 감마ct이며 감마는 1/루트(1-베타^2)이므로 다시 정리하면 ct' = 감마(-베타x+ct)입니다. 반대로 ct에 대하여 연립방정식을 풀면 ct=감마(베타x'+ct')이 됩니다. 로렌츠 변환식을 유도하였습니다. 이제 상대론적인 속도 덧셈법칙을 유도할 수 있습니다. B관성계에서 x'축을 따라 속도 u로 움직이는 물체가 있고 B기준계는 A관성계에 대해 x축을 따라 속도 v로 움직이고 있다고 합시다. 단 x축과 x'축은 평행하다고 합니다. 상대론적 속도 덧셈법칙은 A관성계에서 이 물체를 관찰한 속도 w를 u와 v로 나타내는 것입니다. t=t'=0일때 두 관성계의 원점이 일치하고 물체도 원점을 지난다고 합시다. B관성계에서 t'후 물체의위치x'은 ut'입니다. 구하고자 하는 w는 x/t입니다. 앞서 구한 식을 통해 x/ct를 구할 수 있습니다. 이는 감마(x'+vt')/감마(베타x'+ct')이고 약분하고 분모 분자를 ct'으로 나누면 x/ct=(x'/ct'+베타)/(베타x'/ct'+1)입니다. x/t=w와 x'/t'=u를 대입하고 양변에 c를 곱하면 w=(u+v)/1+uv/c^2이 됩니다. v와 u가 광속에 비해 매우 작을 경우 고전적인 덧셈법칙 w=u+v와 근사함을 알 수 있죠. 또한 빛을 어떤 관찰자가 보더라도 광속으로 움직인다는 것도 제대로 나타내고 있습니다. 단 이 식으로 광속불변의 법칙을 설명하는 것은 맨 처음 얘기드렸다시피 어불성설입니다. 순환논리일 뿐이죠. 그리고 u와 v가 어떤 값이든 w는 광속을 넘지 않습니다. 속도의 상한이 광속이라는 것은 이 식을 통해서 알 수 있는 것입니다.

 

이제 드디어 질문에 대한 답변을 할 수 있게 되었습니다. 속도와 질량의 상관관계를 유도해봅시다. 우선 질량이란 어떤 물체가 갖는 관성의 크기라고 정의할 수 있습니다. 종래의 관점으로는 질량은 절대적인 것으로 물체에 내재된 물리량이었습니다. 그러나 입자가속기를 통해 전자나 양성자 등을 가속하는 과정에서 속도가 빨라질수록 가속시키기가 점점 힘들어지는 현상이 발생하였습니다. 이는 관성의 증가를 의미하며 질량이 증가하였다는 의미입니다. 즉, 속도가 빨라질수록 질량도 커진다는 것이죠. 결론부터 살짝 얘기하자면, F=ma에서 물체의 속도가 낮을때는 힘이 대부분 a를 증가시키는데 쓰이지만 속도가 빨라질수록 a를 증가시키는 것보다는 m을 증가시키는데 힘이 사용됩니다. 속도가 광속에 무한히 가까워지면 질량은 무한히 증가합니다. 즉 정지했을때의 질량이 0보다 큰 모든 물체는 절대로 광속까지 가속할 수 없다는 말입니다. 속도의 덧셈법칙에서도 그랬듯이 속도의 상한이 광속이라는 것을 시사합니다. 단, 예외적으로 처음부터 광속이거나 광속보다 빠른 것은 그러한 속도를 갖는데 아무런 모순이 없습니다. 광속보다 빠른것이 있느냐 없느냐는 사실상 현존하는 이론으로는 입증이 불가능합니다. 있을지 없을지 모르는 것이죠. 아무튼 물체에 일을 해줬더니 질량이 증가한다는 의미는 질량 자체가 에너지임을 시사합니다. 이러한 질량 증가 현상은 특수 상대성이론과 에너지 보존법칙, 선 운동량 보존법칙으로부터 유도할 수 있습니다. 어떤 비탄성 충돌을 상상해봅시다. 동일한 두 물체 A와 B가 충돌하여 하나로 합쳐져 정지하였다고 합니다. 합쳐진 물체의 관성계를 S라고 하면 S계에서 선운동량 보존법칙에 의해 A와 B는 속도가 각각 u, -u이며 질량은 m(u)(속력이 u일때의 질량)로 같습니다. 그리고 합쳐진 물체의 질량은 M(0)라고 하죠. 한편, A의 관성계인 A계에서는 물체 A가 정지해있으므로 물체 A의 질량은 m(0)이고 합쳐진 물체의 속도는 -u이므로 질량은 M(u)입니다. 물체 B의 속력은 속도 덧셈법칙을 통해 구해보면 2u/(1+u^2/c^2)입니다. 식이 복잡해지므로 이를 일단 v라고 합시다. S계에서 충돌 전후로 총질량은 보존되어야 하므로 2m(u)=M(0)입니다. A계에서도 마찬가지로 총질량과 선운동량은 보존되어야하므로 m(0)+m(v)=M(u), m(v)*-(v)=M(u)*(-u)입니다. 첫번째 식의 m(v)에 두번째 식을 대입하여 풀면 m(0)+uM(u)/v=M(u)이고 M(u)에 대해 정리하면 M(u)=m(0)/(1-u/v)입니다. 양변을 M(0)로 나누고 앞서 구한 M(0)=2m(u)식을 대입하면 M(u)/M(0) = m(0)/2m(u)(1-u/v)인데 M(u)/M(0)=m(u)/m(0)일 것이므로 치환하여 정리하면 (m(u)/m(0))^2=1/2(1-u/v)이고 v를 다시 2u/(1+u^2/c^2)으로 치환하여 정리하면 1/(1-u^2/c^2)입니다. 양변에 루트를 씌우면 m(u)/m(0)=루트(1-u^2/c^2)임을 알 수 있습니다. 즉 속력이 u인 물체의 질량은 정지질량에 루트(1-u^2/c^2)를 곱한 값이라는 것이죠.

 

긴글 읽어 주셔서 감사합니다. 쓰고 나서 보니 굉장히 가독성 떨어지는 글이네요... 하지만 수식을 노트에 적어가면서 사고실험을 따라해보면 이해하실 수 있을 거라 믿습니다.