인설 수학과 4학년다니는 학생인데요
지금은 그냥저냥 하는데 저학년때 하도 개판을 쳐서 선형대수학 잘 몰라요 ㅠ
근데 평소 자주 저에게 질문하던 독학으로 편입공부하는 친구가 질문했는데
선대는 진짜 아예 몰라서 여기 도움을 청합니다 ㅠㅠ 부디 자비를 ㅠㅠ
질문내용 올릴게요 ㅠㅠ
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각설하고 바로 질문 드가겠슴당~
미안 근데 쓰다보니까 매너없이 ㅈㄴ 길게 썼네;;;
실시간 대화가 아니니깐 뭔가 오해의 가능성을 최소화하려고 부연설명을 장황하게 씨부리다보니 그만ㅠㅜ 양해부탁
질문1. (중앙 `11 기출)
정의역과 치역이 동일하고, 순서기저와 표현행렬이 주어져 있으니까
표현행렬의 정의에 따라 그 열벡터 (1,1,2), (2,1,1), (1,2,5)를 주어진 사상 T에 대한 순서기저 각각의 상들의 좌표벡터로 취함으로써
T(0,1,1) = 1*(0,1,1) + 1*(1,0,1) + 2*(1,1,0) = (3, 3, 2)
T(1,0,1) = 2*(0,1,1) + 1*(1,0,1) + 1*(1,1,0) = (2, 3, 3)
T(1,1,0) = 1*(0,1,1) + 2*(1,0,1) + 5*(1,1,0) = (7, 6, 3)
으로부터 답이 2번으로 잘 나오는데...
근데 문득 여기에서 궁금한 게, 사상 T의 치역이라고 하면 상공간(rank space), 즉 image T 말하는 거잖아?
이 때 주어진 사상 T의 상공간(imT)은 표현행렬의 열공간(즉, 표현행렬의 전치행렬의 행공간)과 동치라고 알고 있거든.
(선형사상(linear map)의 핵(kernel)과 상(image) 파트에 나오는 성질들)
그래서 아예 이쪽 파트에 나오는 다른 문제들도 보면, 예를 들어서
상공간의 차원 dim(imT) = 표현행렬의 열공간의 차원 dim(col(A)) = 표현행렬의 행공간의 차원 dim(row(A)) = 표현행렬의 계(급)수 rank(A)
가 성립하기 때문에 주어진 사상에 대한 상공간의 차원을 구하라고 하면, 그냥 표현행렬을 찾아서 계수(rank) 구하면 끝이거든.
(중앙 `08 기출) 이렇게 치역의 차원을 구하라고 하면 주어진 사상 T에 대한 표현행렬을 찾아 계수를 구해주면 되므로 답은 1번
암튼 그 얘기가, 최초 문제에서 주어진 표현행렬의 열공간 <(1,1,2), (2,1,1), (1,2,5)>이 곧 사상 T의 치역이라는 내용 아닌가?
그럼 저 세 벡터로 이루어진 열공간엔 보기 1번인 (1,1,2)가 당연히 포함되잖아...
아예 보기좋게 저 세 벡터를 기본행연산으로 Gauss-Jordan Matrix로 바꾸면 <(1,0,-1), (0,1,3)>의 공간과 동치가 돼.
그래서 1*(1,0,-1) + 1*(0,1,3) = (1,1,2)가 되징. 오히려 정답인 (3,3,2)는 (1,0,-1), (0,1,3)의 일차결합으로 나타낼 수도 없엉.
흠... 분명히【사상 T의 치역(range) = 상공간(rank space) = imageT = 표현행렬 A의 열공간】인 내용이 책에 있는데...
뭘까? 표준기저 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)를 사용할 때만 그런 성질이 있다든가 하는 뭐 어떤 전제조건이 있나?
질문2. (중앙 `10 기출)
얘도 위 문제와 같이 원래 정석(?)대로 주어진 표현행렬의 열벡터를 주어진 사상에 대한 순서기저의 상의 좌표벡터로서
T(0,1,1) = 0*w1 + 1*w2 - 2*w3
T(1,0,1) = 1*w1 + 2*w2 + 6*w3
T(1,1,0) = 1*w1 + 7*w2 + 0*w3
을 먼저 구해놓고, 이 때 T(2,3,1)을 구하라고 했으니 (2,3,1)을 주어진 순서기저들의 일차결합으로 나타내보면
(2,3,1) = 1*(0,1,1) + 0*(1,0,1) + 2*(1,1,0) 이므로 선형사상이 갖는 선형성에 의해 T(2,3,1) = 1*T(0,1,1) + 2*T(1,1,0)이 성립하므로
최초에 표현행렬의 정의로부터 구한 식을 대입함으로써 T(2,3,1) = 2w1 + 15w2 -2w3 을 구할 수 있당. 답은 3번.
근데 여기서 또 문득... 궁금해진 게 애시당초 선형사상에 대해 표현행렬이 갖는 의의(?)랄까?
표현행렬에다가 정의역에 있는 임의의 벡터(행렬) x1을 골라잡아서 곱하면(행렬곱) 그 결과가 곧 사상 T에 대한 x1의 상, 즉 T(x1)이 되는
그런 성질이 있는데... ('표현행렬' 또는 '선형사상의 행렬 표현' 따위의 파트에 나오는 내용)
만약 정의역이 R3라면 임의의 벡터 (1,2,3)을 잡았을 때 어떤 사상 T에 대한 그 벡터의 상(image)인 T(1,2,3)은,
그 사상 T에 대한 표현행렬 A(3X3 Matrix로 나옴)에 벡터 (1,2,3)을 3X1 Matrix로 행렬곱한 A*(1,2,3)과 정확히 일치한다는 그런 성질. T(x) = Ax
그런 내용이 있는뎅..... 그래서 '오호~ 선형사상(linear map)이라는 게 행렬(matrix)이랑 뭔가 1:1로 대응이 되는 건가?!' 라고 이해했거든ㅠㅜ
이게 표현행렬의 존재이유라고 생각했지. 사상인 채로 다루는 것보다 행렬 형태로 다뤘을 때 이로운 많은 성질들이 있으니까...
그럼 이런 문제에서 T(2,3,1)을 구하라고 하면 그냥 주어진 표현행렬에 3 X 1 행렬로 (2,3,1)을 곱해버리면 그 상이 바로 튀어 나오는 게 아닌가...?
했는데 문제에서 행렬 표현이라고 주어진 T에 (2,3,1)을 곱해보니 보기 1번이 나오면서 보기좋게 함정에 덜컥~ 답은 3번이었는뎅.
분명히 책에는【(사상 T의 표현행렬 A) X(행렬곱) (정의역의 임의의 한 벡터 x1) = (사상 T에 대한 x1의 상)】이라는 내용이 있는데...
뭐가 잘못된 걸까ㅠㅜ 이것도 위의 문제처럼 뭔가 표준기저를 사용했을 때만 그렇다든지 그런 조건이 있나?
뭔가 두 문제의 공통점이 사상에 대해 연산할 때 표준기저를 쓰지 않고 순서기저(ordered basis)가 따로 주어졌다는 게 뭔가.... 미심쩍넹....
까지가 질문의 끝입니다. 쌤!
소중한 시간 내주시어 이렇게나 긴 글 읽어주셔서 감사합니다ㅠㅜ
천천히 봐주시고 아무런 소견이라도 답변해주시면 독학생에게 큰 도움이 될 것 같아요...
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