! (팩토리얼) 이라는 수학 연산 기호가 있습니다.
n ! 은 1부터 n까지의 모든 자연수를 곱한 값이지요.
2! = 1*2 = (1!) * 2 = 2
3! = 1*2*3 = 2! * 3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 3! * 4 = 24
n! = (n-1) ! * n
이렇게 되지요.
그런데, 뜬금 없는 수학자는 이런 생각을 합니다.
음수에 대해서도 팩토리얼 연산이 가능한가?
당장 0! 이 골치 아프지만, 일단 1이라고 둡니다.
(-1)! = (-1) = -1
(-2)! = (-1)*(-2) = (-1)! * (-2) = 2
(-3)! = (-1)*(-2)*(-3) = (-2)! * (-3) = -6
즉, (-k)! = (-k-1) ! * (-k) for k>0 이라고 정의할 수 있습니다.
별 문제 없이 자연수에서 정수 범위로 확장이 가능해 졌습니다.
이제는, 자연수를 넘어서는 수 체계에도 팩토리얼 연산이 가능한지 고민합니다.
유리수에 대해서도 팩토리얼 연산이 가능할까요?
예를 들어 3.5 ! 은 얼마일까요?
울프람 신에게 물어 보니. 3.5 ! = Γ(4.5) 라고 하며, 11.6317.... 이라는 값을 토해내는군요.
Γ(x) 는 감마함수라고 하는데, 도대체 이 값은 어떻게 나온 걸까요?
(하지만, 더 이상의 자세한 설명은 생략합니다.)
계속 파고 들면, 이 감마 함수에서 제타 함수란게 튀어 나오고, 드디어, 리만 제타 함수로 연결됩니다.
파고 들다 보면, 밀레니엄 문제인 리만 가설에 도달하니깐, 10억원의 상금과 명예에 도전해 보아요.
- 엔델 -
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