x^2-4x+k-2=0의 두 근이 모두 -3보다 클 때, 상수 k의 최댓값은?
답이 2라고 하는데요.

이거 풀면
아래로 볼록한 그래프이므로 k-2의 최솟값은 x=3일 때 y>0보다 커야하는 조건을 이용해서 구할 수 있고
그래프를 이용해서 설명하면 이차함수 꼭지점이 (2,k-2)가 나오고 k-2가 0보다 작아야 두 근을 가진 조건이므로 k-2<0 
정리하면 k<2
혹은 판별식 D를 이용해서 설명하면 16-4(k-2)>0이므로 전개하면 16-4k+8>0 
정리하면 k<2
아무리 풀어도 k의 최댓값은 1인데 
두 근이 아니라 중근을 갖는데 이 조건도 포함되나요?
아니면 제 풀이가 틀렸나요?ㅠㅠ