* 주의!

이 글은 수알못에 의해 쓰여졌습니다.

어디에 중대한 오류가 있을지 알 수 없기에 주장을 받아들이기에 앞서 최대한의 비판적 태도가 필요합니다.

 

 

 

1. 정의.

 

아래는 자연수의 정의이다. (출처: 나무위키)

 

 

a. 1 스핀.

위의 페아노 공리계를 바탕으로, 스핀집합 정의에서는 어느 특별한 원소 없이, 임의의 원소 n에 대해 그 n의 다음 수 n+도 N의 원소임을 가정하며, 이 때 집합 N의 크기를 1N. 임의의 원소 n이 정의하는 다음 수 n+의 방향에 따라 +면 1스핀. -면 -1스핀으로 정의한다.

즉, 무한집합 N의 모든 원소는 n과 n+의 관계로 정의된다.

 

b. 1/2 스핀.

다음 단계에서는 1N의 원소 중 특별한 하나의 원소를 지정해 0으로 정의한다.

0은 집합 N에서 자체적으로 정의될 수 없으며, 0을 정의하기 위해 집합 외적인 간섭이 필요하다.

그리고 집합 N은 특별한 원소 0이 정의되는 순간 0을 기준으로 + 방향의 집합과 - 방향의 집합으로 양분된다. 따라서 기준점이 있는 집합 N의 스핀 상태는 ±1/2 이다. (단, 힐베르트 정리에 의해 양수와 자연수의 크기는 같으므로 집합의 크기 자체는 여전히 1N이다.)

 

 

2. 스핀집합의 성질.

 

a. 정의역과 치역. 그리고 벡터량과 스칼라량.

 

스핀정의에서는 5는 4에 의해 정의된다. 그리고 4는 3에 의해서 정의되며, 3은 2에 의해서 정의된다.

그런데 사실 이것은 놀랍게도 자연수의 정의에서도 똑같다. 자연수의 계산에서는 보편적으로 무시되는 성질이지만, 스핀정의에서는 이러한 정의 관계를 좀 더 확실히 하면 어떠한 논리적 추론이 가능한지 알아보고자 한다.

 

일단 집합 N의 원소 n은 단독으로 정의되지 않는다. 항상 이전수인 n-로부터 정의되며, 이렇게 정의된 원소 n은 그 다음수인 n+를 정의한다. 따라서 집합 N의 원소 n은 1차원 공간 내에서의 벡터값이라고 할 수 있다.

 

그리고 함수의 정의에 의해 이전수 n-는 다음수인 n만을 정의한다. 위의 자연수의 정의 4번에서도 언급되었다시피 N의 두 원소가 같은 다음수를 가진다면 두 원소는 같다.

 

그럼 여기서 스핀공간의 한 가지 특이한 점을 추론할 수 있게 된다.

 

 

b. 스핀공간 S=1과 전체집합.

 

스핀공간은 +1/2 스핀과 -1/2 스핀을 합해 총 0의 스핀값을 가진다. 또는 절대값으로 환산해 1의 스핀값을 가진다고도 볼 수 있다.

 

그런데 여기서 한 가지 모순이 생긴다.

+1/2를 정의하는 특별한 원소 0과.

-1/2를 정의하는 특별한 원소 0이 동시에 존재할 수 없다는 것이다.

 

즉, 특별한 원소 0은 다음수인 1을 정의하거나, 이전수인 -1을 정의해야 하며, 1과 -1을 동시에 정의할 수 없다.

 

그리고 1을 정의하는 0을 0 그리고 -1을 정의하는 0을 0' 으로 정의하고, 각각의 0과 0'을 집합 N의 서로 다른 두 n이라고 가정할 때, 두 0과 0' 사이에는 N의 원소이자 유한집합인 c가 들어가게 된다.

 

따라서 1 또는 0의 스핀공간에는 +1/2, -1/2, c 세 종류의 값이 동시에 들어갈 수 있다.

 

그런데 여기서 한 가지 문제가 생긴다. 바로 값c 의 벡터량이 정의되지 않았다는 것이다.

값 c는 정의되지 않았음에도 불구하고 +1/2와 -1/2 사이에 반드시 존재해야 하며, c의 크기는 1/2 스핀집합의 0이 집합 외적인 부분에서 정의된 것과 같이 또 다른 외적인 정의를 필요로 한다.

 

 

3. 1/2 스핀집합의 역함수.

 

+1/2 스핀집합의 그래프는 n에서 n'으로 한 번의 정의가 시행 되는 것을 1t라고 했을 때, 1차함수 y=x 그래프와 같이 0에서 1로. 1에서 2로 정의되어 무한대로 발산하는 스핀집합은 마찬가지로 무한대에서부터 정의되어 0으로 수렴하는 역함수인 +1/2'을 가정할 수 있다.

그리고 알다시피 y=x 의 역함수는 x=y 이며, 이 둘은 그래프적으로 동일하다.

 

 

오직 한 가지 다른 점은 정의되는 방향이 다르다는 것이다. 

 

 

즉, 무한대에서 시작해 0으로 정의되며 끝나는 1/2 스핀의 역함수는 시간 t가 거꾸로 정의된다.

또한 역함수가 존재하지 않는 S=0 상태의 정의되지 않은 무한집합 N은 t가 정의되지 않으므로 마찬가지로 역함수도 존재하지 않는다.

방향은 존재하나 0은 정의되지 않은 S=1의 무한집합 N은 t는 정의되었으나 시작점 또는 종말점인 0이 정의되지 않았기 때문에 1스핀 집합과 역함수 집합이 스핀 방향만 다를 뿐 동일하며, 기준점에 의한 +와 - 또한 정의되지 않았기 때문에 +스핀과 -스핀 또한 동일하다.

 

다른 방식으로 표현하면, S=1인 무한집합 N은 대칭성을 가지며, 이러한 대칭성은 특별한 원소 0이 정의되며 깨진다고 할 수 있다.

 

 

3.1.

1/2 스핀 상태의 집합 N은 항상 특별한 원소 0을 가진다.

혹은 모든 순간마다 새로운 0이 '외부 계'로부터 정의되는 상태를 가정할 수도 있을 것이다.

 

 

 

4. 마치며.

 

다시 한 번 언급하지만, 5는 4에 의해 정의되며, 4는 3에 의해 정의되죠. 그리고 이는 페아노 공리계에서 정의하는 원칙입니다.

따라서 수를 단순한 스칼라량으로 계산하는 것이 아니라 벡터로서 취급하는 관점 또한 필요하며, 앞으로 필요해지지 않을까 생각되네요.

아. 그리고 S=1 공간에 같은 방향의 1/2스핀 두 개가 동시에 들어갈 수 없다는 설명도 해야 하는데 그냥 넘어가버렸네요. 다시 쓰기도 뭐하니 대충 페아노 공리계 5번을 참고해 주세요.