여기 무한히 이어지는 숫자가 있습니다.

 

보통 많이 언급되는 0.3333333333... 이나 0.999999999... 같은 무한소수가 아니라 ...333333334 처럼 좌측으로 이어지는 무한수죠.

 

그럼 일단 익숙한 계산을 해보도록 하죠.

 

0.999999... = n 이라고 둡니다.

그럼

9.999999... = 10n 이죠.

 

10n - n 은 9n이고,

 

   9.9999...

- 0.9999...

-------------

= 9.0

 

이 됩니다.

 

9n = 9

n=1

 

즉, 0.9999... = 1이라는 가장 간단한 증명이죠.

 

 

그럼 좌측으로 무한히 이어지는 ...9999 의 실제 크기는 어떻게 될까요?

 

일단 앞에서와 똑같이 ...9999 = n 으로 둡니다.

그럼 10n = ...99990 이 되겠죠.

 

그리고 n-10n 은 다음과 같습니다.

 

   ...99999

- ...99990

------------

=...00009

 

 

따라서 -9n = 9

 

n = -1 이 됩니다.

 

네! 바로 그렇습니다!

 

...99999 의 크기는 -1 이고, 여기에 1을 더하면 ...00000.0 즉, 0이 된다는 거죠!!

 

같은 논리로 ...999995 의 크기는 -5 이고, ...999994의 크기는 -6이 됩니다.

 

와! 음수다!!

 

 

씬난 김에 이제 곱셈을 해봅시다!

 

...6666667에 3을 곱하면 몇이 될까요?

 

일단 끝자리는 21이 되겠죠. (3x7=21)

그리고 2가 앞자리로 올라가면 (3x6=18) + 2가 되어 20이 됩니다.

그리고 또 2가 앞자리로 올라가고, 또 다시 앞자리로 올라가고를 반복하면

...66667x3 = ...000001 이 됩니다.

여기서 양변에 3을 나누면

...66667 = 1/3 이 되죠.

 

와! 분수다!! 분수가 나타났다!!

 

 

이상 무한수로 음수와 분수를 나타내는 방법이었습니다!