댓글을 달다가 원글도 좀 오래되었고 재밌어서 따로 글을 파보겠습니다. Disclaimer! 저는 수학쟁이긴 한데 응용수학과 공학의 경계선에서 뛰어노는 사람이라서 여기서 써먹어야 할 set theory나 추상대수학엔 많이 약합니다. 헛소리가 들어가있을 수 있습니다 ㅋㅋ

 

- 여는말

일단 수학맨들은 우리가 어떤 개념을 갖고 노는지, 어떤 space 에 살고있는지를 정의하는게 필요합니다. 무한 다각형 ≠ 원을 생각할 때 미분이 나온다든가 하는 여러 혼란의 이유는 우리가 "2차원 도형의 공간" 을 잘 정의하고있지 않기 때문인 것 같습니다. 또한 "수렴한다" 라는 것은 두 개체간의 거리가 점점 더 작아진다는 뜻입니다. 그런데 이런 거리 개념이 없다면 우리는 수렴을 말할 수가 없어요.

 

- 단위원 위의 꼭지점들의 집합

단위원 위의 점을 0 이상 2π미만의 각도로만 표현한다고 생각해봅시다. 그러면 (1,0)을 포함하는 정 n각형은 X_n = {0,2π/n, ... 2(n-1)π/n} 이 되지요. 생각하기 조금 어렵습니다만 적어도 정무한각형에는 자연수의 개수만큼의 꼭지점이 있다! 혹은 X_∞의 cardinality (집합의 사이즈) 는 countably infinite다! 라고 주장할 수 있을겁니다.

*사실 엄밀하게 맞는 설명은 아닙니다만 여기서 더 들어가면 안될 것 같습니다.

만일 비슷한 방법으로 원을 집합으로 표현한다면 [0,2π) 니까, 우리는 X_∞상의 점과 원 위의 점 사이의 1대1 대응을 만들 수 없습니다. 원에 항상 점이 남지요. 즉 정 무한각형과 원은 다르다 라는 주장은 무한 다각형을 이렇게 추상적인 어떤 구조로 보는 시각일 겁니다.

 

그런데 여기서 문제는 처음에 이야기했듯이 "수렴한다" 라는 개념은 두 개체간의 거리 개념이 필요합니다. 실수에서 0.9999... 가 1로 수렴한다는 것은 |x-y| 를 거리 개념으로 잡고, 이 거리를 내가 얼마든지 줄일 수 있다는 것이지요. 그렇다면 2차원 도형간의 거리는 어떻게 측정해야할까요?

 

- 2차원 도형들 사이의 거리

그런데 도형을 2차원 평면에 그리려면 사실 점만 찍고 끝나진 않습니다. 점끼리 연결도 하고, 안에 색칠도 하고 해야하잖아요? 그렇게 각 점을 싹 다 연결해주고 안쪽에 색칠까지 다 마치고나서 (convex hull) 두 도형을 비교할 때 어떻게 해야할지 고민해봅시다. 

어떤 점 x 와, 점들의 집합 Y에 대해 dd(x,Y) := inf{d(x,y) : y∈Y} 로 정의하도록 합시다. 그러면 두 도형(점들의 집합) X와 Y에 대하여 D(X,Y) := max{sup{dd(x,Y) : x∈X},sup{dd(y,X) : y∈Y}}가 잘 정의될 겁니다.

** 이 부분은 깊이 생각해보지 않았는데, 얘가 metric 인지 확인이 필요할 듯 합니다.

 

이 경우 원과 정 n각형 (convex hull로서) 사이의 거리는 임의의 변의 중점으로부터 원까지의 거리가 되는데, 간단히 1-cos(π/n) 임을 알 수 있습니다. n이 무한대로 가면 이 숫자는 0으로 수렴합니다. 즉 이 공간에서, "만일 정 n각형의 극한값이 존재한다면, 그것은 원과 동일한 놈이어야 한다" 라고 할 수 있습니다.

***그래서 lim_{n→∞}정n각형 이란 도형이 존재하냐? 는 좀 다른 문제인데 넘어가도록 합시다. 아마 convex hull을 고려할 경우 존재할 것 같습니다. 안 고려하면 없을 것 같네요.

 

- 결론

Apeirogon 이라고 하나요? 무한개의 변을 가진 정다각형과 원이 같은가, 다른가는 이 개념들을 어떤 공간에 두고 생각할 것이냐에 따라 다를 것입니다. 어떤 순환구조를 가진 대수적 구조체라고 생각하면 다를 것이고, 평면에 그려놓고 본다면 정의하기에 따라 같은 개념으로 볼 수도 있다고 생각합니다.