구의 경우 반지름 r 에 대하여 체적의 미분이 표면적이 되고 표면적의 정적분이 체적이 되는 것을 확인하는 것은 크게 어려운 계산이 아닐 것입니다.
그런데 여기에서 뻗어나와 생각해볼거리로 정다면체가 있는데요.
과연 정다면체에 대해서도 예시로 든『구의 체적과 표면적간의 미/적분 관계성』과 유사한 관계성이 이미 밝혀져 있는지가 궁금합니다.
우선 밝혀진 관계성의 존재 유무 만으로도 충분하니 아시는 분 계시면 답변해주셨으면 좋겠습니다.
※ 관계성이 있으며, 그러한 관계성이 이미 다 밝혀져 정리된 자료가 있다면 본 글의 수명은 즉시 종료가 되겠군요.
만약 그렇지 않다면 본 글의 내용은 적절한 결과에 도달할 때까지 추가 및 수정이 될 듯 합니다.
따라서, 현 단계에서 본삭금 옵션은 체크하지 않겠습니다. 전공자 분들의 답변을 기다립니다.
※ 이런 경고문이 있는 줄 몰랐네요;; 그래서 줏어온 예쁜 움짤들을 모두 제거하였습니다.
내용 작성 : 1차 (정다면체 3건 확인)
우선 성공 사례 4건(구 / 정사면체 / 정육면체 / 정팔면체)을 먼저 올립니다. 표에 등장하는 r 은 내접구의 반지름을 의미합니다.
※ 정십이면체와 정이십면체의 체적(변)과 표면적(변)이 서로 뒤바뀌어 있어 수정하였습니다. 실수해서 죄송합니다.
정사면체 정육면체 정팔면체
본 게시물을 작성하게 된 생각의 흐름은 이러했습니다.
01. 구의 부피를 (반지름으로) 미분하면 곧장 구의 겉넓이가 나오넹~
02. 정육면체에도 통하려나? 함 해볼까?
03. 정육면체의 한 변의 길이를 l이라 할 때, 부피 l^3 을 미분하면 3 × l^2 이네;; 6 × l^2 이 되어야 좋은데 실패잖아?
04. 뭐야~ 그냥 우연인가? 음… 한 차원 낮춰서 테스트해볼까?
05. 원의 넓이를 (반지름으로) 미분하면 곧장 원의 둘레의 길이가 나오넹~
06. 원이나 구는 잘 먹히는데? 대칭성이 짱 좋아야만 성립하나?
07. 그럼 4차원 '초구' 가 있다고 하면 그 것의 '초부피' 는 3차원 구의 부피를 적분해서 얻을 수도 있겠군;;
08. 그런데 이건 1순위 관심사는 아니고…
09. 정육면체는 될 듯 싶은데도 안되네? 정사각형의 면적에서 둘레를 끌어내는 것 역시 비슷한 모양새로 실패네;;
10. 원/구에 껍질을 씌우거나 벗겨내는 조작이 평면/입체적 전방위로 발생하는 것이니 정육면체에도 그와 유사한 과정이 적용되게 해야되나?
11. 그러면 정육면체와 관계있는 구를 생각해야 할 것인데… 외접구? 내접구? 그 평균반지름의 다른 구? 무엇부터 시도해봐야 좋을까?
12. 어? 내접구로 하니까 미/적분 관계가 곧바로 성립하네?
13. 정사면체는? → 되네!
14. 정팔면체는? → 되네!
15. 정십이면체는? → 계산이;;
16. 정이십면체는? → 계산이;;
17. 정십이면체와 정이십면체 역시 (분위기로 봐서는 될 듯 하지만) 확실히 성립하는 것인지 궁금하네?
18. 왜 내접구일 때 이처럼 깔끔하게 미/적분 관계가 바로 통하는 것일까?
19. 준정다면체의 경우에도『내접구를 사용한 체적/표면적의 표현』이라면 이러한 관계성이 계속 성립하려나?
20. 이상의 모든 것이 사실이더라도 내접구 사용법이 임의의 입체도형에 적용 가능할 것 같지는 않다.
임의의 입체도형이라는 모든 경우에 적용 가능한, 내접구를 대신할 어떤 구가 존재할까? ( ← 솔직히 이것까지 바라는건 무리죠;;)
색칠 된 부분이 제가 궁금해하는 부분이 되겠네요. 궁금해하는 부분이기에 저로서는 답을 모릅니다. 글을 읽어보신 분들 중 시간낭비(?)를 각오하고 호기심 충족에 뛰어드실 분이 계시다면 우선 15, 16, 17의 파란색 부분부터 해보시면 좋겠네요.
계산이 짜증나니까 컴퓨터로 해보는게 좋을 듯 한데… 당연히 제가 직접 해보는 것이 도리겠지만, 저걸 컴퓨터로 어떻게 해야될지 잘 모르겠어서;; 매쓰랩? (안써봐서 모릅니다.) 매쓰매티카? (10년쯤 전에 쪼금 써보다 말아서 다 까먹었고 프로그램도 없습니다;;) 이런 것으로 해결이 되는 것이면 누가 좀 계산을 해보셨으면 싶네요. 도와주실 분이 안나오면 어쩔 수 없이 필산에 도전해봐야겠군요;;
정십이면체 정이십면체 체적을 필산으로 구해보려다 피똥 싼 기억이 나네요. 생각만 해도 짜증이 ㅋㅋ
아무튼 이후의 상황에 따라 또 다시 추가 내용이 첨가될 수 있겠습니다. 여기까지 읽어주셔서 감사합니다.
내용 작성 : 2차 (정다면체 1건 확인)
성공사례 1건(정이십면체)이 늘어서 추가합니다. 표에 등장하는 r 은 내접구의 반지름을 의미합니다.
※ 정십이면체까지 미/적분 관계성이 성립됨을 확인한 후 올리고 싶었으나 확인 시도가 거듭 실패하여 미완성인 채로 업로드합니다.
내용 작성 1차에서 계산이 빡세서 토할것 같아요. 라고 썼었지만… 사실 정이십면체는 별로 빡셀 것이 없었습니다. 그저 순차적으로 정십이면체부터 해결하고자 하던 와중에 정십이면체에 대한 확인 과정이 계속 실패하여 그리 썼던 것 뿐이지요. 어쩔 수 없이 정십이면체는 패스하고 정이십면체부터 체크해 보았더니 내접구의 반지름으로 표현한 체적과 표면적 간의 미/적분 관계성이 여전히 성립함을 금방 확인할 수 있었습니다.
그리하여 마지막 하나 남은 정다면체인 정십이면체에 대하여 내접구의 반지름으로 표현한 체적과 표면적의 표현식(함수)을 계산한 후 상호간의 미/적분 관계성을 따져보았더니…
안되네요;;
계산을 5번은 해본 것 같은데, 제 뇌가 맛이 간 것인지? 아니면 진짜 안되는 것인지? 아무튼 안됩니다. (현재로서는…) 우째 이런 일이;;
새벽에 '법선벡터' 라는 실마리를 잡았다고 생각한 단계 (어느 정도 일반화 준비 완료) 에서 정십이면체만 성립하지 않는다는 사실은 추가 내용의 진행을 전면 재검토해보라는 경고메세지로 보이는데… 대체 왜 이런 되다 만 결과가 나오는 것일까요?
1. 본인의 계산 실수
2. 인터넷 상에서 찾은 정십이면체의 l(r), V(r), S(r) 중 어떤 것 최소 한 가지 이상의 오류
3. 진짜로 정십이면체 하나만 예외적으로 성립하지 않는 어이없는 상황
4. 그 외의… 미처 생각하지 못한 경우
상식적으로 따져볼 때 1번의 가능성이 가장 높겠지요. 따라서, 또 다시 검산을 시도해 보도록 하겠습니다. 그와 아울러 먼 옛날에 피똥싸며 구해봤던 정십이면체의 체적, 표면적, 외접구 반경, 내접구 반경 모두를 다시금 직접 구해볼 각오도 해야겠습니다;;
올바른 결과가 나오게 되었으면 합니다만, 만약 3번 경우가 원인으로 밝혀진다면 본 게시물의 추가 진행인 '내용 작성 3차' 는 사실상 끝장 나게 될 듯 합니다. (왜 정십이면체만 예외인가? 라는 물음을 파고들어야 마땅하겠으나 과연 그리 할만한 정신력이 남아있을런지;;)
그러면 저는 다시금 계산을 재시도하러 가보겠습니다. 여기까지 읽어주셔서 감사합니다.
내용 작성 : 2차 - 추가 (정다면체 1건 확인)
마지막 1건(정십이면체)의 확인에 드디어 성공하였습니다. 표에 등장하는 r 은 내접구의 반지름을 의미합니다.
※ 대체 지난 5번의 계산은 무엇을 했던 것일까;; 엉엉~
역시 저의 계산 실수였습니다. 우째 이런 일이… 어찌 되었든, 드디어 정다면체 전체에 대한 검증이 완료되었습니다.
사기친 것 아니야? 싶으신 분들은 직접 계산을 해보시기 바랍니다. ㅋㅋ
저로서는 정십이면체의 모든 것(체적, 표면적, 외접구 반경, 내접구 반경)을 다시 구하는 불상사는 발생하지 않아서 다행으로 생각하며 '내용 작성 2차' 를 마무리 하겠습니다. 여기까지 읽어주셔서 감사합니다.
내용 작성 : 3차 (아르키메데스 다면체에 대한 적용)
정다면체를 다 때려잡았으니 이제 그 다음 타자인 아르키메데스 다면체입니다. 아르키메데스 다면체가 어떤 입체도형인지는 아래의 링크를 참고하시면 좋겠습니다.
아래의 3 가지 도형은 그럭저럭 계산이 만만한 녀석 2 가지와 축구공(?!) 하나를 가져온 것입니다. 제가 직접 제작한 움짤과 비교해보면 어째서 저런 명칭을 부여받았는지 쉽게 감이 올 것이라 생각합니다. (육팔면체는 움짤과 같이 정육면체를 기반으로 얻어내는 것은 물론 정팔면체를 깎아서도 제작 가능합니다. 한 번 상상해보시기 바랍니다.)
육팔면체 깎은 정사면체 깎은 정이십면체 (축구공)
이 세 다면체 중 가장 만만한 '육팔면체' 부터『내접구의 반지름을 이용한 체적과 표면적간의 미/적분 관계성의 성립 여부』를 파악해보았습니다. 결과부터 말씀드리자면 일단 실패였습니다. (대략 예견된 상황이었지요. ㅋㅋ)
정리했던 생각들을 풀어나가야 하는데, 막상 내용을 작성하려니까 이게 진행이 잘 안되는군요. 괜히 손댔다 싶을 정도로;; 일단 뭐라도 올려보기는 해야겠어서 작업 중이던 것의 일부나마 올립니다. (의욕만 거창했지 실행력이 거지라 죄송합니다;;)
0. 기호 설명
※ 녹색(깎은 정사면체)의 r 과 S 에 붙은 둥그스름한 모양이 육각형인데 jpg 화 되면서 뭉개져서 동그라미처럼 보이는군요. 우째 이런 일이;; ※ 깎은 정이십면체에 관한 내용을 추가하였습니다. 횡방향 사이즈를 조절하여 오각형과 육각형 기호가 뭉개지는 현상을 조금 완화시켰습니다.
1. 육팔면체
※ 이는 r△를 이용한 식으로 재적용하더라도 마찬가지로 실패하게 됩니다. (뻔한 이야기를 썼군요.)
이로써『내접구의 반지름을 이용한 체적과 표면적간의 미/적분 관계성의 성립 여부』판단을 아르키메데스 다면체에 적용시켜보기 위하여 예시로 가져온 세 가지 도형에 대한 확인 작업을 모두 마쳤습니다.
최초에 시도한 육팔면체의 경우 공통 내접구가 존재하지 않기 때문에 두 가지 종류의 표면에 대한 각각의 내접구를 가지고 정다면체에서 행했던 과정을 어느 정도 자세히 묘사하며 내용을 진행하였습니다.
두 번째로 시도한 깎은 정사면체의 경우 보다 간략한 풀이를 위하여 변의 길이를 변수로 삼아 미/적분을 실행하여 그 결과가 올바름을 이끌어내었습니다. 체인 룰이 도움이 되었군요.
세 번째 시도인 깎은 정이십면체;; 이건 원래 할 생각이 전혀 없었는데… (계산이 진짜 징글징글할 듯 싶어서) 어찌저찌하다보니 결국 저걸 붙들고 씨름을 하게 되었네요. '이치' 상 '계산만 정확' 하다면 반드시 성립해야하는 것이 분명하기에 '어차피 저지른 일, 끝까지 해보자!' 라는 마음으로 들이덤빈 것 같은데 ㅋㅋ 이것도 한 5번만에 계산에 성공한 듯 하네요. 정십이면체 계산할때도 그렇더니… 제 수준에서는 아무래도 '오각형' 이 섞여있으면 5번 정도 계산 지옥에 꼬라박아봐야 되나봅니다.
내용 작성 : 4차 (내접구 반경 적용법에 관한 요약)
2017년 7월 18일부터 진행되어 작성된, 위의 내용에 따르면 내접구를 매개로 한 체적과 표면적 간의 미/적분 관계성 적용 방법은 다음과 같습니다.
1. 모든 면에 동시에 접하는 내접구가 존재하는 다면체의 경우,
1. 내접구의 반지름 r 로 나타낸 체적 V(r) 과 표면적 S(r) 간에 V'(r)＝S(r) 이 '곧바로' 성립한다.
2. 모든 면에 동시에 접하는 내접구가 존재하지 않는 다면체의 경우,
2. 표면을 구성하는 각각의 다각형에 대응하는 내접구의 반지름 r 을 일일이 찾아내어
2. 상황 1 에서의 계산을 병렬로 진행하여 그 결과들을 최종 합산할 경우
2. 체적 V(l) 과 표면적 S(l) 간에 V'(l)＝S(l) 이 '우회적으로' 성립한다. (곧장 l 로 미/적분을 실행하면 당연히 실패함)
3. 이러한 이유로 대칭성이 낮으면 낮을 수록 (공통 내접구의 부재에 따른 개별 내접구의 발생 증가가 심할 수록)
3. 미/적분을 이용하여 체적과 표면적 중 하나를 가지고 다른 하나를 끌어내려는 시도는 '계산의 경제성' 이 급감한다.
3. (사실 이러한 경우, 내접구 타령을 하기 전부터… 체적의 계산 작업 자체가 원래부터 힘든 도형이니;; 당연 결과이다.)
대략 이러한 결과를 얻었네요. 따라서, 새로이 가져온 네 가지 다면체 중 아래의 두 다면체는 경우 1 에 해당하여 내접구의 반지름을 사용한 체적과 표면적에 대하여 곧장 미/적분 관계성이 적용 가능하다는 것을 알 수 있겠으며 (면이 마름모 단 한 종류라 참 좋네요. ㅎㅎ)
마름모 십이면체 마름모 삼십면체
아래의 두 다면체는 경우 2 에 해당하므로 계산하느라 고생 좀 하겠다 싶은 도형이 되겠습니다. 특히 마름모 육팔면체는 아르키메데스 다면체와 같이 2회 계산으로 처리 가능할 것으로 보이나… 다듬은 육팔면체의 경우 정삼각형 표면 간에도, 인접 표면을 이루는 다각형과의 연결 관계가 대등하지 않음이 보이므로 서로 다른 내접구 반경을 가지는지 체크한 후 최악의 경우 3회 계산에 따른 결과물의 합산을 통하여 결과를 내야할 것으로 보입니다.
사실 아르키메데스 다면체의 첫 사례로 시도했던 육팔면체에 관한 계산 중, 이 모든 행위가 사실은 다각뿔의 부피 V 와 그 밑면적 S 사이에 높이 h 를 매개로한 미/적분 관계가 성립한다는… 진작부터 알고있던 내용을 소홀히 한 댓가로, 엉뚱한 것에 현혹된 채 '삽질' 을 하고 있었다는 점을 깨닫게 되었습니다. 생각하면 생각할 수록 참으로 한심하군요. ㅋㅋ
그리고 '응칠이'라는 분께서 이처럼 '그 부분' 을 지적해주셨네요. ㅋㅋ 보다 근본적인 단계에서부터 생각을 시작했어야 했는데… 이런 일을 겪다보면 나는 아직 멀었구나~ 라는 생각이 듭니다. ㅎㅎ
내용 작성 : 5차 (법선벡터：분할시킨 각뿔들의 높이에 관한 내용)
게시물 작성이 지겨워져서 조금 쉬었습니다. ㅎㅎ
제가 법선벡터에 관한 무엇인가를 깨닫고 그에 관한 생각을 내용에 추가하겠다고 한 것이 7월 19일 새벽… 지금은 26일 새벽;; 무려 일주일이나 노닥거렸군요. (아르키메데스 다면체를 가지고 생쑈하다 이리 된 탓이 크네요. ㅎㅎ)
표면적을 적분하여 체적을 유도한다. → 넓이를 부피로 승격 시킨다. → 넓이를 부피로 만들기 위해 곱해질 '높이' 라는 녀석은, '부피' 계산법에 따라 '넓이' 에 '직교' 해야한다.
결국, 일주일 전에 깨달았다던 '법선벡터' 라는 것은… 그저 초등학생들도 배워서 알고있는 '높이' 라는 녀석을 한참을 빙빙 돌아 찾아낸 쓸데 없이 고급지기만 한 표현이었던 것이었습니다. 적분의 대상이 될 표면에 '직교' 해야한다는 당연한 사실을, 글쓰기를 시작하고나서 하루나 걸려서 깨닫다니… 참으로 한심하군요;;
가장 최근에 관심을 표현해주신 '헐레벌레' 라는 분의 댓글 입니다. 이 분도 저와 같은 호기심을 느껴 정다면체의 체적과 표면적간의 연관성을 파악해보려는 시도를 해보셨던 것으로 보입니다. 바로 아래의 댓글을 통하여 저에게 생각해볼만한 무엇인가를 던져주셨군요.
위의 내용을 제가 제대로 이해하여 정확히 접수하였는지 확인을 부탁드렸고 그렇다는 답변을 받게 되었네요. 그러면 이제 생각해 볼 차례이지요.
그런데 제가 구체적으로 생각을 해보고 그 결과를 내기 전에 간단하게나마 답변으로 보이는 댓글을 주고 가셨네요.
그래도 생각해볼만한 내용을 받았으니, 그에 대하여 고민 해보는 것이 도리이므로 우선 간단하게나마 뭐가 뭔지 파악해보기 시작하였습니다.
『 (내접구 체적) : (정다면체 체적) ＝ (내접구 표면적) : (정다면체 표면적) 』 의 경우
『 (내접구 체적) : (내접구 표면적) ＝ (정다면체 체적) : (정다면체 표면적) 』 와 같이 바꾸어 표현할 수 있고
『 (외접구 체적) : (정다면체 체적) ≠ (외접구 표면적) : (정다면체 표면적) 』 의 경우 또한 마찬가지로
『 (외접구 체적) : (외접구 표면적) ≠ (정다면체 체적) : (정다면체 표면적) 』 와 같이 바꾸어 표현할 수 있을 것입니다.
아래의 표를 참고하면 '헐레벌레' 님이 이야기하신 내용이 사실임을 알 수 있습니다.
내접구 반경으로 표현된 정다면체의 V(r)/S(r) 값은 모두 r/3 로 일정하나 외접구 반경으로 V(R)/S(R) 값을 계산해 보면 값이 일정하지 않음을 알 수 있습니다. 쌍대 관계의 정다면체끼리만 값이 동일하고 그렇지 않은 경우라면 V(R)/S(R) 값에 차이가 발생하는데…
내접구의 반경을 기준으로 얻어진 V(r)/S(r) 값『r/3』 과 유사한 형태로 만들어 비교해보기 위하여, V(R)/S(R) 값을『R/3』이 드러나게 수정하여 표현하면 위 그림의 빨간색 분수값이 추가로 곱해져있음이 발견됩니다. 이 값이 바로 외접구의 반경에 의한 정다면체의 체적과 표면적 간의 미/적분 관계성이 성립하게끔 '우회적으로' 도와주는 보정값이 됩니다.
R : r 에서 얻어지는 이 비율이 처음에 떠올랐던 '법선벡터' 와 연관이 있는 것으로써, 그것의 기하학적 의미는 다음과 같이 생각됩니다.
추가 작성 (대기) 중…
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